Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o caso do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e igual...). E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais!
Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos 1/a+1/b+1/c=1 Suponha a>=b>=c. Entao se c>=4, temos 1/a+1/b+1/c<=3/4<1, absurdo! Logo c<=3 Ai e so testar! *c=3 1/a+1/b=2/3 Se b>=4 entao 1/a+1/b <= 2/4 = 1/2 < 2/3, nao da! Entao b<=3 Mas 3=c<=b<=3, o que da b=c=3 E (a,b,c)=(3,3,3) da certo. *c=2 Ai 1/a+1/b=1/2 E entao b<=4 Testa de novo! **b=4 1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2) **b=3 1/a=1/6 (a,b,c)=(6,3,2) **b=2 1/a=0. Nao da! c=1, nao serve! Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z: (xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27 (xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32 (xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2 A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito). A segunda tambem nao... Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...) P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem nada de trigonometria! --- Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ? > > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:tg C= tg > A + tg B/ 1- tg A. tgB > tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B > tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C > > Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que > XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. > > Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao > e > mesmo unica. > Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um > dos caras X,Y,Z e no maximo 2. > > --- Jefferson Franca > escreveu: > > > Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja. > > > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que > 2, > > ou seja, > > tg A = 2 + x > > tg B = 2 + y (x,y >0) > > > > A + B + C = 180 > > A + B = 180 -C > > tg (A + B ) = - tg C > > tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y) > > +xy) > > = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy) > > > > tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy) > > > > Teremos que tg C > 2 <=> > > 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy > > <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0 > > Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma > > nunca é negativa > > ou seja, nunca vale que tg C > 2 > > > > ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que > 2 > > (simultaneamente) > > > > > > > > Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica! > > > > > > > > > > > > '>'-- Mensagem Original -- > > '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 > > '>'From: Marcio > > > > '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br > > '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria > > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > '>' > > '>' > > '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson > > Franca > > '>' wrote: > > '>' > > '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem > > alguma idéia de como resolver > > '>' > > '>'> ? > > '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de > umtriângulo > > e, supondo que as > > > > '>'> tangentes dos três ângulos sejam números > > inteiros e positivos, calcule > > '>' > > '>'> essas tangentes. > > '>'> Valeu > > '>'> > > '>'> > > __________________________________________________ > > '>'> Converse com seus amigos em tempo real com o > > Yahoo! Messenger > > '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > '>' > > '>' > > '>' > > '>'-- > > '>'Using Opera's revolutionary e-mail client: > > http://www.opera.com/mail/ > > '>' > > '>'Oi, Jefferson. > > '>' > > '>'Se não errei nada, aqui vai. > > '>' > > '>'Ângulos: a, b e c > > '>' > > '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou > > seja, tg(a + b + c) = 0 > > '>' > > '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. > > '>' > > '>'No final das contas, chega-se a > > '>' > > '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) > > '>' > > '>'Como as tangentes são números inteiros e > > positivos, uma opção (não sei > > se > > '>' > > '>'única) é > > '>' > > '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 > > '>' > > '>' > > '>'[]s, > > '>' > > '>'Márcio. > > > '>'========================================================================= > > '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista > e > > usar a lista em > > > '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > '>'========================================================================= > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > > > --------------------------------- > > Yahoo! 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