Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular fácil o "f(u)" limite não? E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente muito mais forte, mas repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R; além disso, esse é um resultado clássico em Teoria da Integração à Riemman (que você pode achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em utilidade pela de Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação.
Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas "g_n"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/18/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que > converge uniformente para uma funcao g. Mas nao > consegui provar que existe um ponto u no qual a > sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu > estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra > condicao que me garantissse a convergencia da > sequencia das primitivas. Mas nao achei. > > No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, > eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando > o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. > > Artur > > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > > porque precisa da hipótese > > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > > um pouco de utilidade > > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > > usado para provar > > convergência de funções definidas por integrais, que > > então tem todas um > > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > > inicial no caso de funções > > \int_a^x g_n(t) dt) > > > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > > convergência em um ponto da > > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > > "trocar derivada com > > integral", usando que você tem um ponto (este u > > especial) onde as séries > > coincidem no infinito (ou seja, para n > > suficientemente grande, | f_n(u) - > > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > > derivadas, você pode > > definir uma > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > > convergência uniforme das g_n, > > você tem a convergência da integral da diferença > > para zero, e portanto você > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > > também convergência de > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > > achar um ponto onde > > estas funções coincidem, utilizando alguma > > particularidade das funcões g_n. > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > On 8/16/05, claudio.buffara > > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > > > *De:* [EMAIL PROTECTED] > > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > > *Cópia:* > > > *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > > derivadas > > > > Bom dia a todos > > > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > > diferenciaveis em um > > > intervalo > > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > > f'_n convirja > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > > que, se a sequencia de > > > numero > > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > > f_n converge > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > > ultima condicao eh > > > > realmente essencial? > > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > > uniformemente para a função > > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > > converge. > > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > > converge. > > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > > I, já > > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > > convergencia das > > > primitivas? > > > Não, conforme o exemplo acima. > > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > > continuas, temos entao alguma > > > > conclusao interessante, alem de que g eh > > continua? > > > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> > > f_n' integrável. Mas > > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) > > para algum u. > > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > > caso em que as f'_n sao > > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > > convergente para algum u > > > permanece necessária. > > > []s, > > > Claudio. > > > > > > > > __________________________________________________ > Do You Yahoo!? > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around > http://mail.yahoo.com > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================