Obrigado Niski.
Uma prova de que, se g eh (Lebesgue) mensuravel e satisfaz a g((x+y)/2) <=
(g(x) + g(y))/2 para todos x e e y em I, pode ser encontrada em
http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/11df2054c7792678/2
e9bee58ed07e7ea?tvc=1&q=%22jensen+for+a+derivative%22+group:sci.math&hl=pt-B
R
Nesta prova, o autor, Robert Israel, define B_n = {x em I | g(x) < n}, de
modo que I = Uniao (n=1, oo) B_n . Como I tem medida positiva, pelo menos um
dos B_n tambem tem. Em razao disto, Israel conclui que (B_n + B_n)/2 =
{(x+y)/2 | x e y estao em B_n} contem um intervalo aberto nao vazio. Eu
ainda nao consegui ver esta passagem.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Fabio Niski
Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 20:05
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Derivada convexa
Claro..
Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x < y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para
n = 0 ,1, .... e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) <= (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s
\in T[n+1]. É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que
(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) <= [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) <= [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
= (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]}
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n -> inf). Assim, pela
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] <= lim[((1-s[n])g(x) +
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).
Artur Costa Steiner wrote:
> De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
> garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f'
eh
> uma derivada , garante continuidade.
> Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Fabio Niski
> Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
>
>
> Artur Costa Steiner wrote:
>
>>Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
>>
>>Mostre que, se f:R-->R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
>>f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
>
> convexa
>
>>em R.
>>Artur
>
>
> Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
> pontos? Se sim eu conheco a solucao.
>
>
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"
Carl Friedrich Gauss
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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