Eh isso aih, Bernardo! Depois me ocorreu uma outra solucao, que acho que tambem funciona. Se definirmos t_n - (b-x)/(n+1), acho que dah certo. Abracos. Artur
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de > novo (deu um erro > aqui, mas sei la) > > Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. > Se você tem (a, > +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer > algo que seja > suficiente em (a, b). Se você realmente se permite > (a, b) aberto, com > a e b finitos, eu acho que você faz assim: > > Estou supondo b-a > 2, mas tudo pode ser escalado > suficientemente > (p.ex., começando mais longe no n) > > Primeiro, pra cada n, "trunque" f nos pontos a+1/n e > b-1/n, e > prolongue linearmente até a e b, seguindo a > inclinaç~ao que você > quiser, gerando f_n. > Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o > limite fundamental > com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está > definido, como limite de > constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). > Finalmente, prolongue > constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, > a+1/3n) e (b-2/3n, > b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x > pertencente a (a, b) > temos que, em algum momento (= para n > suficientemente grande), n~ao > teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em > volta de x, o que > diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, > g_n(x) -> f'(x). > (na verdade, basta lateral à direita, que é o que > estamos calculando) > > Acho que é isso. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 9/2/05, Artur Costa Steiner > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, > mas encontrei dificuldade > > em alguns casos particulares. > > Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao > f' eh dada pelo limite de > > uma sequencia de funcoes continuas em I. > > Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, > oo), com a real or -inf. > > Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que > convirja para 0 e satisfaca a > > t_n > 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = > (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), > > verificamos que cada g_n eh continua e que g_n => > f'. Para intervalos do > > tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. > > Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da > forma (a,b), com a e b > > reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, > podemos supor que t_n esta > > em (0, b-a) > > para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - > f(x))/(t_n) se a < x < b - t_n e > > g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n <= x < b. > Cada g_n eh entao continua > > em (a,b) e, como para n suficientemente grande > temos x < b - t_n para todo x > > de (a,b), segue-se que g_n => f'. De modo similar, > podemos abordar o caso em > > que f apresenta limite em a+. > > Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam > reais e f nao tenha limite > > nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das > duas abordagens apresentadas > > da certo. > > Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n > <> 1 para todo n com t_n > > => 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - > f(x))/((t_n - 1)*x) para todo > > x<>0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta > abordagem da certo, pois as > > g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge > para f'. Mas se 0 estiver em > > (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se > admitirmos que f' eh continua em > > x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir > que as g_n sejam sempre > > continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral > (g_n(0)) nao converge para > > f'(0). > > Assim, faltou um arremate final, talvez alguem > possa dar uma sugestao. > > Uma conclusao interessante deste teorema eh que o > conjunto das > > descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a > classificacao de Baire (eh > > dado por uma uniao enumeravel de conjuntos > fechados com interior vazio). > > Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, > b), o que significa que > > derivadas nunca sao "muito" descontinuas. Mas isto > nao siginfica que o > > conjunto das descontinuidades tenha medida nula > > Obrigado > > Artur > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ______________________________________________________ Click here to donate to the Hurricane Katrina relief effort. http://store.yahoo.com/redcross-donate3/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================