Oi Bruno, Nao li a sua sol., que deve estar certa, mas e so pensar que como phi eh continua, tome o limite n tendendo a infinito dos dois lados:
xn+1=phi(xn) Da a=phi(a), pois phi eh continua e se xn converge para a, entao xn+1 tbem converge para a. Abraco, Salvador On Thu, 8 Sep 2005, Bruno França dos Reis wrote: > Oi, gente. > Eu tava fazendo minha lista de cálculo numérico, quando chego a este > exercício: > > Prove ou dê um contra-exemplo: > Se phi é uma função contínua definida nos reais, e a sequência x[n+1] = > phi(x[n]) converge, então x[n] converge para um ponto fixo de phi. > > Acredito que seja verdade. Aqui vai minha demo: > > Se x[n] converge, podemos dizer que converge a um numero a. Isto é > equivalente a: Para todo delta > 0, existe N natural tq n > N ==> |x[n] - a| > < delta. > Pela continuidade de phi, temos: para todo eps > 0, existe delta > 0, que > podemos tomar delta < eps, tal que x \in [a - delta, a + delta] ==> |phi(x) > - phi(a)| < eps. > Podemos escrever que phi(a) = a + c, para algum c real. Então temos: > Para todo eps > 0, existe delta, 0 < delta < eps, e existe N natural, tal > que: > n > N ==> |x[n] - a| < delta <==> x[n] \in [a - delta, a + delta] ==> > |phi(x[n]) - phi(a)| < eps <==> > <==> |x[n+1] - (a + c)| < eps <==> |c + (a - x[n+1])| < eps <==> -eps < c + > (a - x[n+1]) < eps <==> > <==> -eps -(a - x[n+1]) = -(eps + (a-x[n+1]) < c < eps + (x[n+1] - a) > Mas como |x[n+1] - a| < delta < eps <==> -eps < -delta < x[n+1] - a < delta > < eps ==> 0 < eps + (x[n+1] - a) < 2eps, e também -(2eps) < -(eps + (a - > x[n+1])) < 0 > Logo, -2eps < c < 2eps. Como isso vale para qualquer eps real positivo, não > importando quão pequeno seja, c só pode ser 0 (por intervalos encaixantes). > Então phi(a) = a. Então x[n] converge para um ponto fixo de phi. > > > > Tá certo isso aí? > Tem algum jeito mais direto? Ou a idéia tem que ser essa mesma? > > Abraço > Bruno > > > -- > Bruno França dos Reis > email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com> > gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > icq: 12626000 > > e^(pi*i)+1=0 > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================