On Wed, Sep 21, 2005 at 11:37:53PM -0300, filipe junqueira wrote: > CAros amigos da lista e NIcolau.... > Como vão? > Meu professor(na verdade mais de um deles) e eu tivemos algumas duvidas > em relação a uma "regra" de raizes polinomiais. > Ai vai ela.. > Seja p(x) um polinomio de grau n que possui coeficientes inteiros. Seja uma > de suas raizes= a+b(sqrtc) | é possivel afirmar que com certeza a-b(sqrtc) > tambem é raiz. > Isso é verdade para todo p(x) com coeficientes inteiros?
Sim (claro, desde que c não seja um quadrado). > Se for, tal teorema tem nome? Não que eu saiba. > Tem demostração? Seja K = Q[sqrt(c)] = {x+y*sqrt(c); x,y em Q} e seja f: K -> K definida por f(x+y*sqrt(c)) = f(x-y*sqrt(c)). Observe que z em Q implica f(z) = z, f(u+v) = f(u) + f(v) e f(uv) = f(u)f(v). Assim, se p for um polinômio de coeficientes racionais e u em K, p(f(u)) = a_n f(u)^n + ... + a_1 f(u) + a_0 = a_n f(u^n) + ... + a_1 f(u) + a_0 = f(a_n u^n) + ... + f(a_1 u) + f(a_0) = f(a_n u^n + ... + a_1 u + a_0) = f(p(u)). Segue claramente daí que p(u) = 0 se e somente se p(f(u)) = 0. > em que livro posso encontrar tal demostração? Qualquer livro de álgebra a nível de graduação inclui este tipo de coisa como preparação para teoria de Galois mas isto pode não estar destacado como um teorema. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================