Não dá para usar homogeneidade neste caso? Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K. O jeitão do produto muda mas parece que da para adaptar...
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante > que usando calculo. > > Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, > > minimizar (k + a_1).....(k +_a_n), k>0 > > dado que a_1 * a_2 *.....a_n = p > > a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia > complicar, embora > talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e > desigualdade MA >= MG. A > solucao otima continuria sendo com a_1 = ....a_n = > p^(1/n). > > Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh > hah um ponto extremo, a > funcao eh limitada inferiormente, ela e a as > restricoes sao classe C^2 > > Artur > > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > claudio.buffara > Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 > 20:03 > Para: obm-l > Assunto: RE: RES: [obm-l] > > > > Talvez um enunciado mais claro pro problema original > seja o seguinte: > > Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer > cujo produto é 1, então: > (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n > e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= > i <= n. > > Agora, sabemos que se o produto de m números > positivos for 1, então a soma > desses números é >= m com igualdade se e somente se > todos os números são > iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= > MG). > > Expandindo o lado esquerdo, teremos: > 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: > S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. > Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, > S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n > ... > S_n = a_1*a_2*...*a_n. > > É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo > produto é 1, de modo > que S_k >= Binom(n,k). > > Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: > 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = > 2^n. > > Finalmente, vale a igualdade <==> > S_1 = Binom(n,1) = n <==> > a_1 = ... = a_n. > > []s, > Claudio. > > > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 > Assunto: RE: RES: [obm-l] > > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com > essa "solução" que nem > exigi > > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste > assunto. > > > > []s, > > Daniel > > > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. > Soh que, na realidade, > > o > > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc > parou. Os multiplicadores > > de > > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = > 1 PODE, mas nao > > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. > De modo geral, para se > > decidir > > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de > fato ponto extremo, eh > > maximo > > '>'ou minimo relativo, temos que analisar > condicoes de segunda ordem, no > > caso > > '>'em que o problema, como este, tem funcao > objetivo e restricoes com > derivadas > > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe > C^2). Além disto, > precisamos > > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas > local. Isto, de modo geral, > > exige > > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > > '>'Na programacao matematica hah um terorema que > se aplica a casos como > > este, > > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes > apresentam simetria. Nao me > > lembro > > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra > garantir que o ponto > > eh > > '>'maximo ou minimo global. > > '>' > > '>'Artur > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > _______________________________________________________ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================