Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai:
Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito > evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: > > Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3....., x em [0, 2*pi], > nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. > > Artur > > O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes > continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem > nenhum asubsequencia convergente. > > Artur > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================