Só pra evitar ter que demonstrar um resultado bastante intuitivo pra quem quiser tentar o problema, é bom lembrar que a medida de Lebesgue satisfaz (como toda medida positiva que se preze) a desigualdade da reuni~ao enumerável, ou seja: m( Uniao de A_i ) <= Soma m(A_i), para uma seqüência A_i de conjuntos.
Dá pra provar isso usando a definiç~ao do Arthur, mas isso eu chamaria de "um outro exercício" porque é bem usado em outras coisas. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/11/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Boa tarde, > > Eu acho este problema interessante: > > Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um > subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps. > > O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que, > contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia > entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e > de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R, > logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser > arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero). > > Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto, > eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim, > topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh > denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita. > > Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que > eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh > um conjunto "insignificante". > > Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) = > infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do > intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas > enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo > eh o seu comprimento. > > Artur > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================