| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Thu, 13 Oct 2005 10:13:14 +0000 (GMT) |
| Assunto: | [obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria |
> Olá Senhores !
>
> Estou com dificuldade para resolver um problema do
> livro do Morgado e do Manfredo Perdigão, o livro da
> coleção do IMPA, sobre complexos e trigonometria.
>
> Seja AnAm a distância entre os pontos An e Am.
> Seja o polígono regular de n lados, inscrito em uma
> circunferência de raio 1. Demonstre que:
>
> A1A2.A1A3.A1A4. ... .A1An = n
>
> Cheguei a relações trigonométricas interessantes,
> mas não consegui desenvolvê-las.
>
> Obrigado desde já pela ajuda!
>
> Celso Faria de Souza
>
Esse é um clássico...
As raízes da equação z^n - 1 = 0 (raízes n-ésimas da unidade) são precisamente os vértices de um n-gono regular, centrado na origem do plano complexo e inscrito num círculo de raio 1. Uma dessas raízes é 1. As outras são w, w^2, ...., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).
Agora, z^n - 1 se fatora de duas maneiras distintas:
z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1))
e
z^n - 1 = (z - 1)(z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1)
Isso quer dizer que:
(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)) = z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1
Tomando valores absolutos e fazendo z = 1 na identidade acima, você obtém o resultado desejado.
Aliás, outra maneira de fatorar z^n - 1 que dá origem a resultados interessantes leva em conta que w^k e w^(n-k) são complexos conjugados e, portanto, raízes de um polinômio quadrático de coeficientes reais:
(z - w^k)(z - w^(n-k)) = z^2 - (w^k + w^(n-k))z + 1 =
z^2 - (2cos(2kpi/n))z + 1
Assim, se n é ímpar ==> n = 2m+1 ==>
z^n - 1 = (z - 1)*PRODUTO(k=1...m) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
Se n é par ==> n = 2m ==>
z^n - 1 = (z - 1)*(z + 1)*PRODUTO(k=1...m-1) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
Por exemplo, fazendo z = -i nessas identidades você obtem o valor (real) de um produto de cossenos.
[]s,
Claudio.
