Visualizar este conjunto nao parece muito facil. A formulacao original do conjunto aberto gera uma colecao enumeravel de intervalos que nao sao disjuntos 2 a 2. Na realidade, cada um dos intervalos itersecta um numero infinito de outros intervalos, pois cada um contem uma infinidae de racionais que sao tambem embolotados. No final, estas unioes de intervalos vao dar os intervalos componentes, jah que o conjunto, por ser aberto, eh representado de forma unica por uma uniao enumeravel de intervalos abertos distintos 2 a 2.
Sejam I_n os intervalos componentes do conjunto aberto gerado pelo processo descrito. Consideremos, para facilitar, que na parte positiva da reta real, estes intervalos estejam ordenados na ordem crescente dos pontos extremos inferiores. Assim, o primeiro eh (a1, b1) e o seguinte (a2, b2) com b1 <= a2. Se tivermos b1 < a2, entao o complementar F contem [b1, a2] que contem o aberto (b1, a2). Mas como F tem interior vazio, isto eh impossivel, de modo que b1 = a2. Igual consideracao valem para os outros intervalos componentes, de modo que o aberto original eh, na parte positiva da reta, da forma (a1, a2) U (a2, a3)....U...(a_n, a_n+1) U (a_n+1, a_n+2).... Assim, me parece que cada elemento do complementar F esta "espremido" entre 2 intervalos abertos. Mas isso acarreta que este complementar seja enumeravel e tenha, portanto, medida nula, contrariamente aa conclusao incontestavel de que tem medida infinita. Este meu ultimo raciocinio tem algum furo que nao estou conseguindo ver. A construcao do aberto dendo e com medida positiva eh perfeita, de modo que o complementar fechado, com interior vazio e medida infinita sem duvida existe. Este ultimo conjunto nao pode ser formado so por pontos isolados, ou seria enumeravel e teria medida nula. Ele tem sem duvida um subconjunto perfeito (fechado sem pontsos isolados) com medida infinita. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005 12:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R, então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente de z. []s, Daniel '>'-- Mensagem Original -- '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>'From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> '>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br> '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>' '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos '>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar '>'da união dos intervalos. '>'Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n '>'tal que isso nunca ocorra? '>' '>'[]s, '>'Claudio. '>' '>'De:[EMAIL PROTECTED] '>' '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>'Cópia: '>' '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 '>' '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita '>'> Artur '>'> '>'> '>'-----Mensagem original----- '>'De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome '>'de claudio.buffara '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04 '>'Para: obm-l '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>' '>'> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto '>'seja fechado? '>'> '>'> []s, '>'> Claudio. '>'> '>'> De:[EMAIL PROTECTED] '>' '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>'> Cópia: '>' '>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 '>' '>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto '>'aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. '>'> > '>'> > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. '>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], '>'Tem medida 1. '>'> > '>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, '>'certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, '>'m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao '>'continua nos racionais e descontinua nos irracionais. '>'> > '>'> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se '>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> '>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0. '>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo '>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores '>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma '>'infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum '>'destes intervalos. '>'> > '>'> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que a seja '>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se '>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. '>'> > '>'> > Artur '>'> > '>'] -----Mensagem original----- '>'De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome '>'de claudio.buffara '>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53 '>'Para: obm-l '>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '>' '>' '>'> > Oi, pessoal: '>'> > '>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida '>'nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: '>'> > '>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. '>'> > '>'> > Outros dois bonitinhos são: '>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos '>'racionais. '>'> > e '>'> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) '>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. '>'> > '>'> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? '>'> > '>'> > []s, '>'> > Claudio. '>'> > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================