Olá, O resultado que eu estava procurando é o teorema de Mittag-Leffler. Ainda não achei uma demonstração. Alguém conhece uma on-line?
http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflersPartialFractionsTheorem.html http://planetmath.org/encyclopedia/MittagLefflersTheorem.html []´s Demetrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > É para aprender mais do que para qualquer outra > > coisa. > > > > > (*)A propósito, qual é a prova de que toda > função > > > meromórfica tem expensão em frações parciais?? > > Estou > > > (quase) certo de que isso é verdade, mas não > > conheço a > > > prova... Acho até que vale para toda função > > analítica. > > > > Não sei direito qual é o enunciado do que você > está > > tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por > > exemplo, > > você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) = > > (e^z - 1)/z > > é inteira. É este tipo de decomposição que você > quer > > provar > > que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao > > redor de qq polo)? > > Se for, isto segue diretamente da série de > > Taylor-Laurent. > > Ou será que você está falando de coisas tipo a > série > > abaixo: > > > > tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) + > > (1/(z+((2k-1)*pi/2))) > > > > Boa tarde professor Nicolau, > > Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_.... > Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora > num > primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja > possível incluí-las também). > > Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não > é > restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo > me > explicar um pouco melhor. > > É bem conhecido que se pode obter este tipo de > expressão (uma decomposição em funções parciais) > para > funções racionais. Isso é uma consequência do > teorema > fundamental da álgebra, já você pode escrever o > denominador na forma produto de raízes e depois > decompô-lo em cada pólo. Ex: > > f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))= > =1+1/(x-1)-1/(x+1) > > Então, neste aspecto o teorema fundamental da > álgebra > diz o seguinte: "funções racionais são univocamente > caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos" > (Acho até que só pelos pólos, considerando que para > caracterizar o pólo seja necessário localização, > multiplicidade e resíduos). > > Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função > racional > é completamente caracterizada pelas suas > singularidades. O fato de você poder obter uma > decomposição em frações parciais é consequência > disso. > > > Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode > afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo > menos para funções meromórficas. A resposta é sim, > pelo menos para funções trigonométricas e > hiperbólicas. Exemplos: > > sec(x) = SOMA_{k=1,2,...} > (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2)) > - 1/(x+((2*k-1)*Pi/2))) > > sech(x) = SOMA_{k=1,2,...} > (-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2)) > > cotan(x) = 1/x > +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi)) > > csc(x)^2 = 1/x^2 > +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2) > > (cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))= > = SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4) > > etc... > > Ou seja , dizer que as singularidades identificam a > função e que pode obter-se uma expansão em frações > parciais com os pólos vale para racionais, > trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue > é: será que vale para todas as meromórficas???! > > Não sei se eu consegui explicar direito, e > naturalmente existe a possibilidade que eu tenha > me > perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um > pouco mais este final de semana, se eu achar alguma > coisa, boto na lista. > > []´s Demétrio > > > > > (espero ter acertado) > > Este tipo de expressão não é um caso particular de > > um teorema geral, > > é uma propriedade especial de uma função especial > > (no caso, tan). > > > > > > []s, N. > > > > []s, N. > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > > > > _______________________________________________________ > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada > você acumula cupons e concorre a mais de 500 > prêmios! 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