Oi, Isto parece muito complicado, mas nao eh tanto assim nao. O conjunto desejado certamente existe.
R eh um espaco metrico separavel, isto eh, contem um subconjunto denso e enumeravel - Q, por exemplo. Como consequencia, se E eh um subconjunto de R, entao o conjunto dos elementos de E que sao pontos isolados eh enumeravel. Quando aplicada a conjuntos fechados, esta conclusao dah origem ao teorema de Cantor/Bendixson: Todo fechado F de R eh a uniao disjunta de um conjunto perfeito com um enumeravel. O enumeravel eh justamente o conjunto dos pontos isolados de F. Sendo F um conjunto fechado, com interior vazio e medida positiva, o qual jah vimos existir,entao F = P Uniao I, sendo P perfeito e I enumeravel. Dado que P e I sao disjuntos, a aditividade da medida leva a que m(F) = m(P) + m(I) = m(P), pois todo enumeravel tem medida nula. Logo, m(P) = m(F) >0. Assim P eh perfeito (fechado e sem pontos isolados), tem interior vazio (pois eh subconjunto de F) e tem medida positiva. Assim, construido o conjunto F do caso anterior, basta expurgar seus pontos isolados. Podemos tambem encontrar conjuntos compactos, perfeitos, com ineror vazio e medida positiva (finita). Abracos Artur "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Fri, 14 Oct 2005 12:09:39 -0300 > > Assunto:Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio > > > Se vc está pensando no exemplo X que vai > embolotando o n-ésimo racional > > com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na > verdade, o complementar > > desse X), acho que basta pegar esse épsilon > irracional; isso garante que > > não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). > > Não tenho tanta certeza. Acho que, para cada eps > > 0, existe alguma enumeração de Q tal que, para todo > n, > r_n + eps/2^(n+1) < raiz(2) ou r_n - eps/2^(n+1) > > raiz(2). > Como Q é denso, o embolotamento correspondente > conteria algo do tipo (a,raiz(2)) união (raiz(2),b). > > []s, > Claudio. > > > então qualquer intervalo aberto contendo um ponto > z do complementar > > de X > > irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura > implicaria que algum r_n > > + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o > eps irracional não caímos > > no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que > esse ponto é diferente > > de z. > > > > []s, > > Daniel > > > > '>'-- Mensagem Original -- > > '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 > > '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e > Interior Vazio > > '>'From: "claudio.buffara" > > '>'To: "obm-l" > > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > '>' > > '>' > > '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior > vazio, fechado e sem pontos > > '>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo, > podemos ter dois intervalos > > abertos > > '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um > ponto isolado do complementar > > '>'da união dos intervalos. > > '>'Será que dá pra escolher, para cada racional > r_n, um intervalo aberto > > I_n > > '>'tal que isso nunca ocorra? > > '>' > > '>'[]s, > > '>'Claudio. > > '>' > > '>'De:[EMAIL PROTECTED] > > '>' > > '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > '>' > > '>'Cópia: > > '>' > > '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 > > '>' > > '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e > Interior Vazio > > '>' > > '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que > vc deu.O complementar > > eh > > '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita > > '>'> Artur > > '>'> > > '>'> > > '>'-----Mensagem original----- > > '>'De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > nome > > '>'de claudio.buffara > > '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 > 14:04 > > '>'Para: obm-l > > '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e > Interior Vazio > > '>' > > '>' > > '>'> E se, além de medida positiva e interior > vazio, exigirmos que o tal > > conjunto > > '>'seja fechado? > > '>'> > > '>'> []s, > > '>'> Claudio. > > '>'> > > '>'> De:[EMAIL PROTECTED] > > '>' > > '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > '>' > > '>'> Cópia: > > '>' > > '>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 > > '>' > > '>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e > Interior Vazio > > '>' > > '>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda > mais marcante: o de um > > conjunto > > '>'aberto e denso em R mas com medida > arbitrariamente proxima de zero. > > '>'> > > > '>'> > Um conjunto com medida infinita e interior > vazio eh o dos irrracionais. > > '>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos > os irrracionais em [0, > > 1], > > '>'Tem medida 1. > > '>'> > > > '>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao > continua so nos irracionais, > > '>'certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n > se x = m/n for racional, > > '>'m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver > alguem dar um exemplo > > de funcao > > '>'continua nos racionais e descontinua nos > irracionais. > > '>'> > > > '>'> > Considremos agora f(x) = x/2 + > (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = > > 0 se > > '>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + > (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x > > -> > > '>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0. > > '>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e > que, em qualquer intervalo > > '>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa > infinitas vezes pelos valores > > '>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo > contendo a origem, f > > tem uma > > '>'infinidade de maximos e minimos relativos. > Logo, f nao eh monotonica > > em nenhum > > '>'destes intervalos. > > '>'> > > > '>'> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao > suficiente para que > > a seja > > '>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh > ponto de crescimento de > > f se > > '>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja > crescente. > > '>'> > > > '>'> > Artur > > '>'> > > > '>'] -----Mensagem original----- > > '>'De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > nome > > '>'de claudio.buffara > > '>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 > 22:53 > > '>'Para: obm-l > > '>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior > Vazio > > '>' > > '>' > > '>'> > Oi, pessoal: > > '>'> > > > '>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de > conjunto denso em R e de > > medida > > '>'nula. Isso me lembrou de outro problema > parecido: > > '>'> > > > '>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com > medida positiva e interior > > vazio. > > '>'> > > > '>'> > Outros dois bonitinhos são: > > '>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos > irracionais e descontínua > > nos > > '>'racionais. > > '>'> > e > > '>'> > Dê um exemplo de uma função real f > derivável em todo ponto, tal > > que f'(0) > > '>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum > intervalo contendo a origem. > > '>'> > > > '>'> > No mais, alguém já descobriu por que um > chicote estala quando é > > usado? > > '>'> > > > '>'> > []s, > > '>'> > Claudio. > > '>'> > > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > __________________________________ Yahoo! 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