Este site esta começando a se espalhar.
Vou colar aqui os comentarios que o prof. Daniel Tausk deu a respeito
desse assunto em outra lista de discussao. Talvez seja suficiente para
exorcizar esse assunto aqui nesta lista.
" Acabei de ler o site que contesta o método diagonal de Cantor.
O teorema de Cantor pode ser formalizado numa teoria formal como ZF; eu
esperava encontrar nesse site alguma discussão que fosse ao menos um
pouquinho inteligente que, por exemplo, propusesse uma outra teoria
formal (diferente de ZF) para formalizar a noção intuitiva de conjunto e
que nessa outra teoria formal o teorema de Cantor não pudesse ser
formalizado (não haveria nada de absurdo nisso).
No entanto, o que aparece nesse site é completamente idiota e mostra que
o autor não entende nada do que escreve.
Sobre a primeira parte:
o site diz que o argumento de Cantor prova apenas que o número real
construído X não está na parte da lista acima de n, mas que não há
nenhuma prova de que ele não esteja na parte da lista abaixo de n (que
não pode ser explicitada).
No entanto, o argumento de Cantor prova que o número real construído X
não está na n-ésima linha da lista, qualquer que seja o número natural
n. Isso significa que X não está em parte alguma da lista.
É óbvio que nós não podemos escrever a lista inteira por extenso numa
folha de papel (pois o papel é finito e a lista não). Mas isso não nos
impede de apresentar um argumento que demonstre que alguma propriedade é
satisfeita por todas as linhas da lista. Assim como eu não preciso
listar todos os números pares numa folha de papel para demonstrar que a
soma de dois números pares é par.
Sobre a segunda parte:
o site diz que qualquer número real X entre 0 e 1 está de fato em alguma
parte da lista. Ele apresenta um argumento envolvendo probabilidades.
Ocorre que a enumeração que supõe-se existir para os números reais entre
0 e 1 é fixada; as linhas da lista não são obtidas por sorteio, não há
de se falar em probabilidade de uma certa linha da lista ser igual a uma
coisa ou outra.
Sobre a terceira parte:
essa é a mais idiota de todas. O site apresenta uma "prova" de que,
usando o argumento de Cantor, poderíamos demonstrar que o próprio
conjunto N dos números naturais é não-enumerável.
Essa foi muito idiota... o sujeito escreve uma enumeração dos números
naturais e supõe que cada número natural da lista possui uma infinidade
de dígitos!!!! LOL. Ele não percebeu que um número natural escrito em
notação decimal possui apenas um número finito de dígitos? (mesmo que
você acrescente uma infinidade de zeros a esquerda, o "novo" número
natural construído pelo método de Cantor possuiria uma infinidade de
dígitos não nulos, o que não corresponde a número natural algum; a não
ser talvez na álgebra de idiota).
Li agora a argumentação contra a prova de Gödel (sobre a existência de
uma fórmula W na aritmética de Peano tal que nem W nem "não(W)" possam
ser demonstradas na aritmética de Peano).
Novamente, os argumentos são extremamente infantis; nada inteligente,
simplesmente alguém que não entendeu a demonstração. Claro que, no caso
da prova de Gödel, o não-entendimento é mais perdoável do que no caso do
método diagonal de Cantor, já que a prova de Gödel é um tanto intrincada
e envolve um interplay não-trivial entre matemática e meta-matemática.
Em todo caso, a crítica é idiota e não possui nada de interessante.
Falando de uma forma bem superficial a prova de Gödel consiste de dois
passos:
a) descrever um método para associar um número natural a cada fórmula da
aritmética de Peano e também um número natural a cada possível
demonstração feita na aritmética de Peano (o número natural associado a
uma fórmula F é hoje conhecido como número de Gödel de F; similarmente,
o número natural associado a uma demonstração é conhecido como número de
Gödel da demonstração);
b) produzir uma fórmula W que expressa a idéia: "a fórmula com número de
Gödel d não é demonstrável", sendo que d é o próprio número de Gödel da
fórmula W. Daí a fórmula W diz que "a fórmula W não é demonstrável" e
portanto pode-se concluir que, se a aritmética de Peano é consistente,
então nem W nem "não(W)" podem ser demonstradas na aritmética de Peano.
Agora, um ponto importante, é que a descrição que dei da prova de
Gödel nos itens (a) e (b) acima é apenas um breve overview da idéia
central da prova (algo que às vezes é usado para transmitir a idéia
central da prova para não matemáticos). No entanto, a verdadeira prova
de Gödel possui uma quantidade bem grande de detalhes técnicos que
preenchem várias páginas de texto.
É um tanto idiota um sujeito que apenas foi apresentado a um pequeno
overview intuitivo (como aquele que eu fiz acima nos itens (a) e (b))
tente criticar a prova e querer concluir que a mesma não é correta.
A crítica colocada é: "como é possível que a fórmula W faça referência
ao seu próprio número de Gödel d? uma fórmula que faz referência ao
número de Gödel d precisa ter um número de Gödel muito maior que d".
Esse é simplesmente o primeiro desafio que alguém encontra quando tenta
construir a fórmula W. A idéia brilhante de Gödel justamente nos permite
vencer esse desafio. A crítica colocada é bastante ingênua.
Dando mais detalhes sobre o argumento de Gödel: ele constrói uma fórmula
A(x_1,x_2) (com variáveis livres x_1 e x_2) que exprime a seguinte
idéia: "x_2 é o número de Gödel de uma demonstração para a fórmula f
obtida da seguinte forma: consideramos a fórmula g com número de Gödel
x_1 e substituimos todas as ocorrências livres da variável x_1 em g pelo
número x_1".
Agora consideramos a seguinte fórmula B(x_1) (com variável livre x_1):
(para todo x_2)(não(A(x_1,x_2))).
Seja agora r o número de Gödel de B(x_1) e considere a seguinte fórmula W:
(para todo x_2)(não(A(r,x_2))).
A fórmula W diz que, qualquer que seja o número natural x_2, ele não
pode ser o número de Gödel da demonstração da fórmula f definida da
seguinte forma: toma-se a fórmula g com número de Gödel r e substitui-se
todas as ocorrências livres da variável x_1 em g pelo número r.
Agora, como a fórmula com número de Gödel r é B(x_1), substituindo as
ocorrências livres de x_1 por r em B(x_1) obtemos exatamente W. Logo a
fórmula f é W e portanto W diz "não existe uma demonstração para W".
Apesar de eu ter exposto mais alguns detalhes da idéia da prova de Gödel
nas linhas acima, aviso ainda ao leitor que eu omiti ainda uma
quantidade enorme de detalhes técnicos e que seria idiota alguém tentar
achar um erro nessa demonstração apenas a partir desse breve resumo.
Para explicar em detalhes a prova de Gödel eu precisaria ainda
formalizar o conceito "a fórmula A da aritmética de Peano expressa
determinada relação R no conjunto dos números naturais"; eu precisaria
também demonstrar que toda relação recursiva é expressável por uma
fórmula na aritmética de Peano. Mais ainda, a versão moderna da prova de
Gödel inclui uma modificação da fórmula W, que permite demonstrar a
indecidibilidade de W supondo apenas a consistência da aritmética (e não
a omega-consistência, que é uma condição mais forte).
O site faz mais uma crítica:
"o uso por Gödel do operador Subst (que indica substituição de uma
variável por um número dado numa fórmula com número de Gödel dado) não é
válido pois o operador Subst pertence à metamatemática e não à matemática".
Crítica idiota de novo; vinda de alguém que não entendeu a demonstração.
O símbolo "Subst" usado por Gödel é apenas uma abreviação de uma
complicada fórmula da aritmética de Peano e não é um operador
metamatemático."
Nicolau C. Saldanha wrote:
On Thu, Nov 03, 2005 at 12:41:35PM -0300, Chicao Valadares wrote:
Godel e Cantor estava errado?
Esse refuta Cantor
http://homepage.mac.com/ardeshir/ArgumentAgainstCantor.html
Esse refuta o teorema de Godel.
http://homepage.mac.com/ardeshir/Godel-SimpleRefutation.html
Nao tive tempo de brincar com eles mas a primeira
vista, parecem argumentos que valem a pena dar uma
olhada...divirtam-se....
Dando uma olhadinha na home page deste cara
http://homepage.mac.com/ardeshir
dá para ver que ele é um destes que se acha capaz de dar palpite em qq assunto:
skills
I am a generalist. My works at my Download Page reflect my skills as a thinker,
writer, philosopher, scientist, inventor, computer expert and and composer. ...
Talvez ele seja competente em algum outro assunto, mas em matemática
ele só fala besteira: está tudo completamente errado.
O cara nem entende o argumento de Cantor nem entende o que seja
uma demonstração matemática (estou supondo que ele se leve a sério,
claro que isto pode ser algum tipo de piada).
O pior de tudo é o quanto o cara é arrogante:
Actually, what's really absurd is the way people keep on repeating Cantor's
argument, and affirming it to be a solid cast-iron proof, virtually ad nauseam,
in all the high school, college and university mathematics textbooks -- and
even in prestigious volumes such as those of the major Encyclopaedias. One
wonders where their authors' and editors' heads are at!
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"
Carl Friedrich Gauss
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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