Oi gente, Eu tenho outra solução, que usa a definição de cônica: dados um ponto F, chamado foco, e uma reta d, chamada diretriz, uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P tais que a razão entre as distâncias de P a F e de P a d é uma constante e (não é ~2,7; e é chamada excentricidade da cônica). Se essa constante é 1, a cônica é uma parábola; se é menor que 1, é uma elipse; se é maior que 1, é uma hipérbole.
Vou provar que em qualquer cônica, se AB é uma corda focal, isto é, um segmento com extremidades na cônica e que passa pelo foco F, então 1/AF + 1/BF é constante. A partir disso, pode-se demonstrar que AB é mÃnimo se, e somente se, AF = BF e, portanto, AB é perpendicular ao eixo da cônica: de fato, pela desigualdade entre as médias aritmética e harmônica, AB/2 = (AF + BF)/2 >= 2/(1/AF + 1/BF) = constante, com igualdade se, e somente se, AF = BF. Vamos, então, à demonstração. Trace, por A, F e B, perpendiculares à diretriz. Seja k = FQ a distância entre F e a diretriz (que é constante), x = AP a distância entre A e a diretriz e y = BQ a distância entre B e a diretriz. Temos a seguinte figura (em ASCII, quem estiver utilizando outro tipo de fonte mude para Courier New, por favor): B F ___--. A __-.--**** | .--*** | | | | | *--------+-----------+ P Q R Trace por A uma paralela à diretriz, determinando em FQ o ponto S; trace outra paralela por B à diretriz, encontrando em BR o ponto T. Os triângulos BFT e FAS são semelhantes, logo, sendo FS = k - x e BT = y - k, e, pela definição de cônica, x = AP = AF/e e y = BR = FB/e, em que e é a excentricidade da cônica, AF/FB = FS/BT <=> BT/FB = FS/AF <=> (y-k)/FB = (k-x)/FA <=> k(1/FA + 1/FB) = x/FA + y/FB = 1/e + 1/e <=> 1/FA + 1/FB = 2/(ek) Como e e k são constante, 1/FA + 1/FB é constante. Logo o resultado segue. Além disso, é legal notar que isso vale para toda cônica e que com isso, da desigualdade que fizemos no começo, dá para calcular o tamanho da corda focal mÃnima: é 2ek. []'s Shine --- "Igor O.A." <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ae Eduardo... muito obrigado! > a solução tah excelente. > > -- > I G O R > > Jesus ama você. > __________________________________ Start your day with Yahoo! - Make it your home page! http://www.yahoo.com/r/hs ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================