f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)...(x + 2006) - 1.
Entao:
f(x)/2006! = x(1 + x)(1 + x/2)(1 + x/3)...(1 + x/2006) - 1/2006!
Se x > 0, entao f(x)/2006! > x - 1/2006!
Eh claro que f(0) = -1.
Alem disso, 1/2006! > 0 ==>
f(1/2006!)/2006! > 1/2006! - 1/2006! = 0 ==>
f(1/2006!) > 0
Logo, como f eh continua em toda a reta, o TVI implica que existe a entre 0 e 1/2006! tal que f(a) = 0.
[]s,
Claudio.
on 10.11.05 13:00, Murilo RFL at [EMAIL PROTECTED] wrote:
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1
n=2007 termos (0..2006)
Desenvolvendo o polinomio
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 =>
x^2007 +(1+2+3+...+2006)x^2006+ ... + (1*2*3*...*2006)x - 1 = 0.
x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... + (2006!)x - 1 = 0.
seja x>0 eh facil ver q [ x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... ] = A tal q A > 0
logo a equaçao eh:
A + (2006!)x - 1 = 0.
x = 1/(2006!) - A/2006!
como A>0 => A/2006!>0
e logo x, alguma raiz positiva do polinomio, eh menor de q 1/(2006!)
cqd.
[]'s
MuriloRFL
----- Original Message -----
From: Robÿffffe9rio Alves <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 10, 2005 11:36 AM
Subject: [obm-l] Uma questão de fatorial
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor menor raiz positiva dessa equaçÃo. Prove que ela seja menor que 1/2006!.
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