RES: [obm-l] limite de uma serie

[Artur Costa Steiner]

Legal, muito obrigado!

Artur

-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Luiz H. Barbosa
Enviada em: quarta-feira, 4 de janeiro de 2006 14:16
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] limite de uma serie

Bom dia

A série Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) eh alternada e seus termos

decrescem em valor absoluto para 0, de modo que a serie eh convergente.

Usando o Maple, me iformaram que seun limite eh 1 - Sqrt(2)) zeta(1/2).

Como podemos provar este fato, que fornece o limite envolvendo a funcao zeta de Riemann?

 

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Bom , vamos la ,

Sabemos que a funcao zeta de riemann eh ,

R(z) = 1 + [1/(2^z )] + [1/(3^z )] +[1/(4^z )] + ...  , para todo z da forma a +bi.

Vamos ao problema ,

Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ...

 

 Mas repare que podemos somar e subtrair termos iguais que nao afetara a serie ,

Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =

1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... =

1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)] + ... , assim fazemos para todos os termos que possuem nos denominadores raizes de numeros pares.

 

Organizando ,

Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =

1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... =

1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)]+ ... =

{1 +[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...}  - 2{[(1)/sqrt(2)]+[(1)/sqrt(4)]+[(1)/sqrt(6)]+ ... }

 

A primeira parte eh a funcao zeta de riemann para z = 1/2, entao ,

Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =

R(1/2) - 2{[(1)/sqrt(2)]*[1+[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...]}  

 

Novamente a funcao R(1/2) aparece ,desta vez na segunda parte,

 

Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) =

R(1/2) - [(2)/sqrt(2)]*R(1/2) =

R(1/2)*{1 - [(2)/sqrt(2)]}

 

Abracos,

Luiz H. Barbosa