Estou com uma duvida: este teorema vale em qualquer espaco topologico ou apenas em espacos metricos e espacos metrizaveis? Em um espaco topologico nao metrizavel, a prova dada nao vale, pois o fato de x ser ponto de acumulacao de X nao implica que eista uma sequencia em X que convirja para x. Se substituirmos sequencia por rede, a prova torna-se valida?
Artur > Mostre que se X inter K é fechado de K para todo > compacto K C ou igual > M, então X é fechado do espaço M > > (inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual > a) > > Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja > fechado. Entao, X possui um > ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X. > Adicionalmente, existe > uma sequencia (x_n) em X que converge para x > (propriedade de espacos > metricos). > O conjunto A = (x1, x2....x_n....} nao eh fechado, > pois x eh ponto de > acumulacao de A mas nao pertence a A. > Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1, > x2....x_n...} eh compacto (qualquer > cobertura aberta de K contem um membro que contem x > e que, desta forma, com > possivel excecao de um numero finito de elementos de > K, cobre a totalidade > dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n > -> x). > Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K > tal que X inter K = A > nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a > afirmacao eh verdadeira. > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================