Dá para mostrar que, por exemplo, a_n<500 e b_n<400 para todo n, por indução: claramente isso vale para n=1, e, se vale para n, temos a_(n+1) = 300 + 0,3 b_n < 300+0,3.400 < 500, e b_(n+1) = 200 + 0,3 a_(n+1) < 200+0,3.500 < 400. Abraços, Gugu
Citando Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá, > b_n = 290 + 0,09 b_(n-1) > > mas b1 = 290.. logo: > > b_n = b1 + 0,09 b_(n-1) > > Abrindo para n = 2, n = 3, vc vai ver a seguinte lei de formacao: > > b_n = Sum(i=0 ... n-1, (0,09)^i) b1 > > Essa somatorio, eh um somatorio de PG e vale: [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 > Assim: b_n = [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 * b1 > > Para confirmar, por inducao: > n=1 => b1 = 0,81 / 0,81 * b1 = b1 .. ok! > Suponhamos verdadeiro para n, e vamos mostrar que vale para n+1.. > > b_(n+1) = b1 + 0,09 b_n = b1 + 0,09 [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 * b1 = [ 0,81 + > 0,09 - (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1 = [ 1 - (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1 > > Ok.. demonstrado! > > lim b_n = b1 / 0,81 > que é o resultado que ja tinhamos obtido anteriormente... > tentei mostrar que b_n converge por outros metodos (sem obter o termo geral) > ... consegui provar que ele é crescente.. > mas nao consegui provar que é limitado! =/ > se alguem souber um modo mais simples de provar, mandai! > > abraços, > Salhab > > ----- Original Message ----- > From: Klaus Ferraz > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Friday, February 10, 2006 7:32 PM > Subject: Re: [obm-l] limite > > > Ola Marcelo, > legal a solucao. Mas como provo q as series bn e an convergem? > > Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > a1 = 300 > b1 = 200 + 0,3 a1 > > a2 = 300 + 0,3 b1 > b2 = 200 + 0,3 a2 > > a_n = 300 + 0,3 b_(n-1) > b_n = 200 + 0,3 a_n > > substituindo a_n em b_n, temos: > b_n = 2! 00 + 0,3 [ 300 + 0,3 b_(n-1) ] > b_n = 200 + 90 + 0,09 b_(n-1) > b_n = 290 + 0,09 b_(n-1) > > Supondo que b_n converge, temos que lim b_n = lim b_(n-1).. assim: > lim b_n = 290 + 0,09 lim b_n > lim b_n = 290 / [1 - 0,09] = 290 / 0,91 = 318,68 = 318 alunos > > lim a_n = 300 + 0,3 lim b_n = 300 + 0,3 * 318,68 = 395,60 = 395 alunos > > faltou provar que as series convergem.. mas nao eh dificil.. olhe: > se provarmos que b_n converge, então, necessariamente, a_n converge... > fica co! mo exercicio provar que b_n converge.. > > abraços, > Salhab > ----- Original Message ----- > From: Klaus Ferraz > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Thursday, February 09, 2006 8:55 PM > Subject: [obm-l] limite > > > Uma faculdade recebe todos os anos 300 alunos novos no primeiro > semestre e 200 alunos novos no segundo semestre. 30% dos alunos sao > reprovados no primeiro periodo e repetem o periodo no semestre seguinte. > Sendo an e bn respectivamente os numeros de alunos do primeiro periodo no > primeiro e segundo semestres do ano n, calcule lim(n-->infinito) an e lim > (n-->infinito)bn. > > -------------------------------------------------------------------------- > Yahoo! Search > Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil. > > > > > ------------------------------------------------------------------------------ > Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. ---------------------------------------------------------------- This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================