a) Se f , g e h
estao em AR, entao
(g+f))(x) = g(x) + f(x) = f(x) + g(x) =
(f+g)(x) , em virtude da propriedade comutativa que adicao apresenta nos
reais. Assim, a propriedade comutativa eh satisfeita em
AR.
(f + (g+h)(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + g(x)
+ h(x) = (f+g)(x) + h(x) = ((f+g) + h)(x), de modo que AR
possui a propriedade associativa.
(g+h)(x) sendo n a
funcao identicamente nula, n(x) =0 para todo x de A, entao para toda f de AR
temos (f + n)(x) = (n+f)(x) = n(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x), de modo que n
eh o elemnto neutri de AR com relacao aa
adicao.
E para cada f de AR existe a funcao
-f dada por (-f)(x) = -f(x), sendo imediato que f + (-f) = n. Assim, todo elemto
der AR eh simetrizavel.
Assium, AR eh um grupo comutativo
com relacao aa adicao.
Com relacao aa multiplicacao, sao
validas as propriedades comutativas e associativa e ewxiste elemto neuto, a
funcao I dada por I(x) = 1 para todo x de A. Mas nem toda f eh
simetrizavel, pos se tivermos f(x) = 0 para algum x de A, entao f nao eh
simetrizavel. Apenas as funcoes que nunca se anulam o
sao.
As outras eguem passos similares. E
de fato, para termos a exstencia de f^(-1), f tem que ser injetora, embora o
dominio de f^(-1) nao tenha que ser todo o R.
Artur.
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Daniel S. Braz
Enviada em: sexta-feira, 31 de março de 2006 12:10
Para: OBM-L
Assunto: [obm-l] Álgebra - Grupos aditivos e multiplicativosSenhores,[Problema do livro de álgebra do Iezzi, capítulo IV - Grupos e Subgrupos]Seja A um subconjunto não vazio. Seja AR o conjunto das aplicações de A em R (R=Reais).
Definimos uma operação de adição e multiplicação em AR, para funções de A em R, da seguinte
maneira:(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f*g)(x) = f(x)*g(x)a) Mostre que AR dotado da adição possui a estrutura de um grupo.
b) Mostre que AR dotado da multiplição não possui, em geral, a estrutura de um grupo.a)
(f+g)+h = f+(g+h) -> É associativa
f+e = f -> e = 0 -> Possui elemento neutro
f+f^(-1) = e -> f^(-1) = -f -> Aqui está minha dúvida, f^(-1) é uma função de R em A,
então -f(x) não necessariamente estará em A...
Ex.: A = {1,2} ; f(x) = x + 1 -> f^(-1)(x) = -x-1 -> f^(-1)(x) não está em A.
onde estou errando?b)
(f*g)*h = f(*g*h) -> É associativa
f*e = f -> e = 1 -> Possui elemento neutro
f*f^(-1) = e -> f^(-1) = 1/f -> A mesma dúvida...obrigado.Daniel.
