Ola Gandhi e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
O estudante Paulo Santa Rita agradece a referencia !
O nosso principal problema de contagem e a hipotese do continuo ... qualquer
que seja um eventual insight sobre contagem, me parece que ele sera tanto
mais valido e o seu desenvolvimento justificavel se de alguma maneira
contribuir para o esclarecimento desta questao.
O problema da hipotese do continuo e a primeira tentativa de se lancar
alguma luz no universo muito pouco conhecido da cardinalidade dos conjuntos
não enumeraveis. De fato. NO QUE RESPEITA AS SUAS CARDINALIDADES, nos
podemos dividir os conjuntos em dois grandes blocos : no primeiro bloco,
colocamos os enumeraveis; no segundo, os não enumeraveis. A rigor, no
primeiro bloco, há um único conjunto, o conjunto dos numeros naturais. E
no segundo ?
No conjunto dos conjuntos não enumeraveis existem diversas cardinalidades.
Em tese, ao menos uma quantidade enumeravel delas, representada pela suposta
sequencia cantoriana de alefes, vale dizer, ALEFE1, ALEFE2, ... Quando
nos provamos - digamos, usando o raciocinio da diagonal de cantor - que um
conjunto e não enumeravel nos estamos apenas exibindo o mais elementar e
quase único conhecimento sobre esse tipo de conjunto. Em verdade, uma tal
prova e uma confissao de ignorancia :
O conjunto e infinito e não admite uma bijecao com N mas eu não sei
identificar qual alefe corresponde a sua cardinalidade
Assim, toda prova desta natureza e intrinsecamente incompleta e nos nos
damos satisfeito simplesmente porque esta ignorancia e tipica do nosso
tempo. O ideal e que para cada ALEFE da sequencia de Cantor tivessemos um
CONJUNTO PADRAO e pudessemos provar algo proximo de ...
TEOREMA 1 : A todo conjunto infinito corresponde um único conjunto padrao
com o qual ele pode manter uma bijecao.
Se esta ideia pudesse ser desenvolvida de alguma forma, N seria o primeiro e
mais simples conjunto padrao, correspondente a primeira cardinalidade
infinita. Bom, a priori, isso se parece apenas a um sonho de uma noite de
verao ...
Mas, alem de ser o nosso mais importante problema de contagem, a hipotese do
continuo NAO E e uma questao diafana ou transcendente que não guarda
vinculacao direta com a nossa praxis. Para ver isso claramente, considere :
Um conjunto A de funcoes analiticas, duas a duas distintas, definidas em C
( C e o conjunto dos numeros complexos ) tal que para cada z pertencente a
C fixado, o conjunto { f(z), f variando em A} seja enumeravel.
Pergunto : A e um conjunto enumeravel ?
E respondo propondo um exercicio :
Prove que se a HIPOTESE DO CONTINUO e falsa, entao qualquer A sera sempre um
conjunto enumeravel. Se, porem, a HIPOTESE DO CONTINUO e verdadeira, entao
existe ao menos um conjunto A não enumeravel.
Maravilha, não ? A HIPOTESE DO CONTINUO, este ser hibrido, tal como a
quimera da mitologia grega, tem realmente diversas facetas, uma das quais e
estar proxima a nos sem nos a percebermos ... mais que isso, como Godel e
Cohen provaram que a HIPOTESE DO CONTINUO e independente dos demais axiomas
da Teoria dos conjuntos, vale dizer, tanto faz supormos que ela e verdadeira
ou falsa, a natureza do conjunto A descrito acima se torna altamente
problematico ( ou emblematico ? )
A) Ele esta definido atraves de uma propiedade clara. Pelo AXIOMA DA
ESPECIFICACAO (aussonderungsaxion) da teoria dos conjuntos ele esta bem
definido.
B) O que se dizer de um conjunto cuja cardinalidade depende de uma
propriedade que pode ser valida ou não ? Que e enumeravel e nao-enumravel
ao mesmo tempo ? No minimo, que não esta bem definido ...
Esses paradoxos sao idiossincrasias tipicas da Teoria dos conjuntos ... E
nao me parece que qualquer interpretacao particular desta teoria podera ter
carater peremptorio sobre estas questoes que tangenciamos... Se muito, uma
particular interpretacao pode ter carater pratico e/ou didatico.
Se conseguissemos visualizar os CONJUNTOS PADROES a que nos referimos acima
nao so a natureza da cardinalidade do conjunto A ja aludido estaria
esclarecida como tambem a hipotese do continuo. Ora, se estes padroes
existem, eles devem emergir da analise do processo de contagem... Deve
existir, portanto, alguma propriedade da contagem que ainda nao percebemos
e que, trazida a plena luz, nos permitira ver estes padroes.
Uma das construcoes bem conhecida dos numeros naturais parte do CONJUNTO
VAZIO.
Nos colocamos 0={}. A seguir, 1={0}={{}}. E mais : 2={0,1}={{},{{}}} e assim
sucessivamente. Todo numero natural sera igual ao conjunto dos seus
predecessores ( vEJA : Paul Halmos, NAIVE SET THEORY, SPRINGER VERLAG ).
Existe um pressuposto nesta construcao. Qual seria ?
EXISTE UM UNICO CONJUNTO VAZIO
Este pressuposto e consistente com a interpretacao combinatoria de
BINOM(N,0). Nos colocamos:
BINOM(N,0)=1
Pois de um conjunto com N elementos so podemos tirar UM UNICO conjunto com
0 elementos, o conjunto vazio, que e unico pela teoria dos conjuntos. De
BINOM(N,0)=1 tiramos 0!=1
Portanto, a existencia do CONJUNTO VAZIO e a sua unicidade e uma base nao
so da construcao dos numeros naturais ( o primeiro "padrao" ou primeira
cardinalidade ) como tambem de uma imaginavel interpretacao combinatoria
... Seria possivel de alguma maneira flexibilizar este pressuposto para
construir outros padroes alem e diferente dos naturais ?
Esse questao que estou me(nos) propondo nao me parece, a priori, de forma
alguma simples. Ela requer uma analise muito mais cuidadosa do que a que eu
vou fazer aqui. EU APENAS VOU ESBOCAR A IDEIA QUE ME OCORRE NESTE MOMENTO. O
que me parece ser o criterio que indicara sucesso ou nao nesta viagem mental
e a possibilidade de dizer alguma coisa interessante que tangecie de alguma
forma a HIPOTESE DO CONTINUO.
O conjunto vazio referencia a cardinalidade, tal como entendemos. Um
conjunto sem elementos, e vazio. A cardinalidade e uma propriedade universal
de todo conjunto. Dado um conjunto nao vazio. Os seus elementos podem ter
AFINIDADES ou nao. Baseado em algum criterio, podemos dizer que os elementos
de um conjunto nao tem afinidades, tem portanto zero afinidades, tem
portanto um vazio de afinidades.
Um vazio de afinidades parece ser algo diferente de um vazio de
cardinalidade. Existiria assim dois conjuntos vazios. Para um dado conjunto,
existiria o seu numero cardinal e o conjunto das afinidades de seus
elementos. Exemplo :
conjunto A ={joao,maria}
Afinidades associadas a A ={{ mesma idade, mesma cor, mesma altura }}
conjunto B={pedro,marta}
Afinidades associadas a B = {{ }} ( sem afinidades )
Seria necessario agora construir um conjunto de axiomas que regulassem a
relacao entre estas duas categorias de conjuntos : os conjuntos e suas
afinidades. Mas e certo que poderiamos passar a interpretar
combinatoriamente :
BINOM(N,0)=2
Pois sempre podemos construir um conjunto com N elementos e sem afinidades
e, como anteriormente, retirar um unico conjunto com cardinalidade zero.
Esta mensagem toca em assuntos dificeis e importantes, mas e absolutamente
despretensiosa. Vejam-na apenas como um curta e rapida viagem mental na qual
tentei levar alguns de voces. Mas e certo que se fechermos os olhos e dermos
liberdade a nossa imaginacao, muitos universos surgem a nossa frente. Esse
carater de investigacao e contato com o desconhecido que sabemos que existe
em outro plano e que encerra exuberante beleza e parte viva e real da
Matematica. E tambem, parece-me, o que nos da maior motivacao ...
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
3,2010,110406
From: "Ronaldo Luiz Alonso" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial
Date: Mon, 3 Apr 2006 13:09:49 -0300
Eu havia imaginado vagamente (a tempos atrás)
tudo o que o professor Paulo
colocou nesta mensagem (Show de Bola).
Só que não tinha exemplos concretos nem clareza
de idéias e também nem citações suficientes
para explicitá-las como as que foram por ele colocadas.
A moral disso tudo é que devemos sempre
QUESTIONAR aquilo que nos é ensinado e da maneira
como é ensidado, pois podemos frequentemente nos
deparar com situações práticas onde a teoria precisa
ser ligeiramente adaptada e/ou a interpretação IPSIS
LITERIS da teoria pode tornar inviável a sua aplicação.
O caso das geometrias não euclidianas são um exemplo
prático deste caso.
"WHAT I CAN'T CREATE I CAN'T UNDERSTAND"
-- RICHARD FEYNMAN.
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