Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia (sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de V. Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais, de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma subsequencia eh convergente. Como espacos metricos sao compactos sse todas suas sequencias contiverem uma subsequencia convergente, concluimos que a bola unitaria fechada nao eh compacta.
Por afinidade, concluimos que nenhuma bola fechada de V eh compacta. Em V, a condicao de Heine Borel nao vale. Bolas fechadas sao limitadas mas nao totalmente limitadas. Artur --- Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá Daniel: > > > Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, > ..., a_k) ... > > ... Vc não quiz dizer elementos de A? Não? > > > Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode > cobrir A, e então A não é > > compacto. > > Com pequenas alterações, esse resultado vale para > todo espaço real de > > dimensão > > infinita: a bola unitária nunca é compacta. > > Certo. Bonita demonstração. > > > > > []s, > > Daniel > > > > > > > > '>'-- Mensagem Original -- > > '>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300 > > '>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, > limitado e N > > '>' ÃO compacto > > '>'From: "alencar1980" <[EMAIL PROTECTED]> > > '>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br> > > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > '>' > > '>' > > '>'Pessoal, > > '>' > > '>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que > o conjunto "A" abaixo > > é fechado, > > '>'limitado e não-compacto. > > '>' > > '>'Considere o conjunto > > '>' > > '>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n} é > não-nulo} > > '>' > > '>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} > {|x_{n}|}. > > '>' > > '>'Obs.: Na definição acima n pertence aos > naturais. Por exemplo, > > (1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...) > > '>'pertence ao conjunto acima. > > '>' > > '>'Mostre que > > '>' > > '>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas > não-compacto. > > '>' > > '>'Obrigado por qualquer ajuda. > > '>' > > '>'[]'s > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================