Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei
que o seu excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo
mesmo espirito que rege a comunidade Software Livre - e voltado
sobretudo para estudantes que farao o vestibular IME, dai eu ter me
esforcado para usar apenas conhecimentos de nivel medio e ser tao
detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma
forma, pode usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que
fonte. Da uma revisada nos calculos porque eu nao olhei duas vezes
para um mesmo lugar. Havendo tempo eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas
cartesianas conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta " r " que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o
plano OXZ e perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo
este ponto medio a origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue
imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum "a" real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar
geometrico dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem,
inevitavelmente, o plano onde residira o lugar geometrico que
buscamos, pois todo centro de esfera circunscrita ao tetraedro e,
em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta " r ' " ortogonal a
"r" e na qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; "b" e "c" reais fixos com "b" diferente de zero e
"z" variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que
fixado um M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M -
pois trata-se do ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e
precisamente o ortocentro destre triangulo. Por outro lado, e facil
ver que se aproximanos M=(b,c,W) de (b,c,0) o ponto M' tende ao
infinito, ou seja, subira ou descera muito. Visualizar estas coisa
e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao,
imagine W < 0. Para ter uma visao global previa, considere as
questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita
ao tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as
arestas do tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema
formado por estas equacoes. Como isso pressupoe saber previamente
as coordenadas do ponto M ' tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular
ao plano que contem este triangulo. A intercecao desta
perpendicular com a reta r' me fornecera as coordenadas de M'. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ortocentro do
triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM.
Se R e o ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados,
constituindo a RETA DE EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com
esta relacao fica facil calcular as coordenadas do ortocentro. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do baricentro e do
circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas,
pois trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices
do triangulo. Para ver como calculamos o circuncentro basta
perceber que o plano Y=0 e um plano perpendicular a AB pelo seu
ponto medio, em virtude do sistema cartesiano que adotamos acima.
Assim, tracamos dois plano respectivamente perpendiculares AM e BM
pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema formado pelas
equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes
acima foi a forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar
uma visao panoramica e previa do que farei. Desta forma a sequencia
de calculos vai adquirir sentido. Note que os calculos podem ser
muitos, mais a ideia e simples, como era de se esperar em problemas
deste nivel. Entao, maos a obra !
OS DADOS BASICOS :
A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta "r",
identificada com o eixo OY. O plano Y=0 corta AB no seu ponto
medio. A distancia entre as retas "r" e "r' " sera "b", um real
positivo e nao nulo. A distancia de r' ao plano Y=0 sera "c". Sobre
r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)
ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :
O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera
(b,c-a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e
perpendicular a AM e dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c+a)/2, W/2)
].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita,
ficara :
bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2 EQUACAO
1
O ponto medio de BM e (b/2, (c-a)/2, W/2). O vetor BM=M-B sera
(b,c+a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e
perpendicular a BM e dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c-a)/2, W/2)
].(b,c+a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita,
ficara :
bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2 EQUACAO
2
O Circuncentro esta no plano do triangulo ABM. Precisamos portanto
encontrar a equacao do plano que contem este triangulo. Nada mais
facil : os vetores MA=A-M e MB=B-M sao respetivamente (-b,a-c,-W) e
(-b,-a-c,-W) e, portanto, o produto vetorial entre eles e : MA x MB
= -2a(W,0,-b). Segue daqui que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao
plano. Logo, a equacao que buscamos sera :
[(X,Y,Z) - M].(W,0,-b) = 0
[(X,Y,Z) - (b,c,W)].(W,0,-b)=0 => WX - bZ = 0
EQUACAO 3
Montando o SISTEMA ( vou me referir a este sistema mais abaixo ) :
Y=0
WX - bZ = 0
bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
bX + (c- a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
Resolvendo-o, achamos :
C = circuncentro de ABM = (1/(b^2 + W^2) )*[(b^2 + W^2)/2 + (c^2
- a^2)/2]*(b,0,W). Para facilitar os calculos representarei a
expressao 1 + ( (c^2-a^2)/(b^2 + W^2) ) por L. Assim : C =
L*(b/2,0,W/2). As coordenadas do baricentro sao facilmente
calculaveis, pois, como todos sabem, elas sao as media aritmetica
das respectivas coordenadas dos vertices do triangulo. Logo :
D= baricentro de ABM = (b/3, c/3,W/3)
ENCONTRANDO O ORTOCENTRO DO TRIANGULO ABM :
Tendo C e D fica facil calcular R, as coordenadas do ortocentro do
triangulo, pois R, D e C estao alinhados formando a chamada RETA DE
EULER, o baricentro sempre fica entre o circuncentro e o ortocentro
e a distancia do ortocentro ao baricentro e duas vezes a distancia
do circuncentro ao baricentro. Em termos de vetores : R - D = -2(C
- D). Logo :
R = D - 2(C - D) => R = 3D - 2C = (b,c,W) - L*(b,0,W) = (0,c,0) +
(b,0,W) -L*(b,0,W) =>
R = (0,c,0) + (1-L)*(b,0,W) = (0,c,0) + ( (a^2 - c^2) / (b^2 + W^2)
)*(b,0,W)
ENCONTRANDO O PONTO M ' :
Agora vamos tracar por R uma reta perpendicular ao plano que contem
o triangulo ABM. A intersecao desta reta com a reta r' sera o ponto
M'. Acima, calculamos que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao
plano. A equacao da reta que procuramos sera:
(X,Y,Z) - R = t*(W,0,-b) onde "t" varia nos reais.
(X,Y,Z) = R + t*(W,0,-b).
Procuramos "t" real tal que (X,Y,Z) esteja na reta r ' , vale
dizer, X=b e Y=c. Fazendo os calculos chega-se facilmente ao valor
t = (L/W)*b. Usando-o para calcular Z chegamos a :
Z= ( a^2 - b^2 - c^2) / W
Fazendo a^2 - b^2 - c^2 = K, chegamos ao famigerado ponto M ' : M '
= (b, c, K / W )
ENCONTRANDO O CENTRO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO ABMM ' :
Considerando o SISTEMA montado acima, e facil ver que se retirarmos
a exigencia da solucao estar no plano que contem o triangulo ABM,
vale dizer, se retirarmos a equacao WX - bZ = 0, a solucao do
sistema resultante sera :
Y=0
bX + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
EQUACAO 4
Esta reta e perpendicular ao plano AMB pelo circuncentro do
triangulo ABM, isto e, contem TODOS os pontos ( e somente eles ! )
equidistante dos vertices A, B e M. Isto posto, fica claro que para
encontrarmos o centro da esfera que circunscreve o tetraedro ABMM '
basta tracar um plano perpendicular a qualquer das arestas AM', BM'
ou MM' e fazer a interseccao deste plano com a reta da EQUACAO 4
acima. Fazendo isso :
O ponto medio de MM ' e ( b, c, (K/2W) + W/2 ). O vetor MM ' e
(0,0, (K / W) - W ). Logo, o plano que contem o ponto medio e e
perpendicular ao vetor AM ' tem a equacao :
[(X,Y,Z) - (b,c,(K /2W) + W/2 )].(0,0,(K / W) - W ) = 0
Desenvolvendo, achamos :
Z = (1/2)*( (K/W) + W ) EQUACAO 5
Juntando as EQUACOES 4 e 5, resulta o sistema :
Y=0
bX + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
Z = (1/2)*( (K/W) + W )
Resolvendo este sistema, achamos :
X = -K/b .
Z = (1/2)*( (K/W) + W )
Variando W temos os pontos procurados. Segue que o lugar geometrico
dos centros das esferas circunscritas ficara :
LG = { (X,Y,Z) = ( -K / b , 0, (W/2) + (K/2W ) tais que W varia ao
longo dos reais e e nao nulo }
Aqui, conforme dissemos acima, K=a^2 -b^2 - c^2 e "a" e a metade
das distancia entre os pontos originais A e B e "b" e a distancia
entre as retas ortogonais "r" e "r ' " ( "a" e "b" sao nao nulos,
portanto )
A imagem geometrica sera uma reta ou duas semi-reta. Para ver isso
claramente, note que :
(W/2) + (K/2W) = z => W^2 -2zW + K = 0
Uma tal equacao so tem solucao W real ( as unicas que estamos
considerando aqui ) se z^2 - K >= 0. Logo, se ocorrer que K=a^2 -
b^2 - c^2 =< 0, todo z servira e a imagem sera uma reta. Se K=a^2 -
b^2 - c^2 >0, deveremos ter z^2 >= K. Daqui segue que z =< -
raiz_quadrada(K) ou z >= raiz_quadrada(K), ou seja, duas
semi-retas.
OBS : A grandeza K=a^2 - b^2 - c^2 parece ser importante no
contexto deste problema. Se K > 0, nenhuma esfera circunscrita a
qualquer dos infinitos tetraedros construtiveis tera centro em
(-K/b,0,z) se :
- raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K)
Por que isso ocorre ?
Seja z tal que - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K). E facil
ver que a distancia "d" de (-K/b,0,z) ao ponto A=(0,a,0) e tal que
d^2 = z^2 + a^2 + (-K/b)^2. Mas z^2 < K = a^2 - b^2 - c^2 => z^2 +
a^2 < 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + b^2 + c^2 =>
z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 +c^2 + (-K/b)^2 =>
z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2K +(-K/b)^2 + c^2 =>
z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < (b + |-K/b|)^2 + c^2 . Seja f^2 =(b +
|-K/b|)^2 + c^2 .
E facil ver que se tracarmos por (-K/b,0,z) um plano perpendicular
a reta X=-K/b, este plano cortara a reta r' em um ponto "p" tal que
a distancia de (-K/b,0,z) a "p" e precisamente "f", vale dizer, a
distancia de (-K/b,0,z) ate A=(0,a,0) e menor que a distancia de
(-K/b,0,z) a QUALQUER PONTO da reta r'. Logo, (-K/b,0,z) jamais
podera ser equidistante de A e de dois outros pontos M e M'
residentes em r'. Logo, nenhuma esfera circunscrita ao tetraedro
ABMM' podera ter centro em
(-K/b,0,z) se - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K).
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
1,2015,300406
From: Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] 2 questoes do IME
Date: Fri, 28 Apr 2006 08:31:04 -0300 (BRT)
Em tempo : Quais sao as duas questoes que estao sem resposta ?
Voce pode apresentar os enunciados aqui ?
Na versao 8, havia 3 questoes que eu nao
tinha conseguido responder (considerando apenas
o periodo de 2006/2005 a 1977/1978 - pois se considerarmos
todo o periodo atualmente incluido, existem "infinitas"
questoes)
Sao elas (as questoes nao resolvidas anteriormente):
(i) 1986/1987 geometria, 9a questao
(ii) 1985/1986 geometria, 6a questao, item (b)
(iii) 1982/1983 geometria, 7a questao
Em uma msg anterior eu havia postado as questoes (i)
e (ii) e o Luis Lopes, desta lista, as postou
em outra lista obtendo diversas (mesmo!) respostas.
Com isto a questao (ii) ja aparece resolvida na versao 9
(pagina 208). Ontem mesmo o Luis Lopes me
enviou uma solucao para a questao (i). Eu ainda nao
dei uma olhada na solucao para ver se eu entendo.
Aparentemente esta bem detalhada, mas eh que
minha geometria eh bem basica mesmo (como voces
podem perceber pelas solucoes que eu incluo, onde
eu acabo deduzindo uma serie de propriedades
que "estao no sangue" de qualquer geometra). De qualquer forma,
vou postar as questoes (i) e (iii) que nao
tem solucao na versao 9. Solucoes para (i) e (iii)
sao definitivamente bem-vindas.
(i) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares.
Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r'
dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de
M' sobre o plano que contem o triangulo MAB e' o
ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico
dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'.
(iii) Dados dois circulos externos de raios distintos,
mostre que o conjunto de secantes que determinam
em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
Abraco,
sergio
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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