Caros colegas da lista, Incorporei a solucao apresentada pelo Jean-Pierre Ehrmann, passada para mim pelo Luis Lopes para a questao de 1986/1987, geometria, 9a questao. Com isto, gerei a versao v9b do material do IME. Quem imprimiu a versao 9 (como eu!), eu sugiro imprimir apenas as paginas 202 e 203 da versao ime9b e colocar como um anexo do material jah impresso. Para dar o devido credito, pode imprimir a pagina 3 tambem.
Para ficar bem clara, a solucao pode ser quebrada em 6 passos simples: i) A partir das condicoes do problema (AB perpendicular a MM' e projecao de M' em ABM e' o ortocentro deste triangulo), mostrar que as arestas opostas do tetraedro ABMM' sao ortogonais duas a duas (o que caracteriza um tetraedro chamado de "ortocentrico") ii) A dificuldade do problema e' que M e M' variam e com isto fica dificil caracterizar o tetraedro ABMM' completamente. Porem, existe um plano que fica constante independente da variacao de M e M'. Vamos usar este plano para ajudar na nossa solucao. Este plano e' formado pelos pontos A, B e C, onde C e' o pe', em r', da perpendicular comum a r e r'. Note que o plano e' fixo pois A, B e C sao fixos. iii) A partir do resultado (i) acima, mostra-se uma das propriedades de um tetraedro ortocentrico: A projecao de um vertice qualquer deste tetraedro na face oposta ao vertice e' o ortocentro desta face. Desta forma, prova-se que a projecao de A sobre a face BMM' e' fixa, esta' sobre BC e e' o ortocentro de BMM'. Logo, o ortocentro de BMM' e' um ponto fixo, independente dos deslocamentos de M e M'. Analogamente, o ortocentro de AMM' e' um ponto fixo, dado pela projecao de B em AMM', independente das variacoes de M e M' iv) Usando a reta de Euler (ortocentro, baricentro e circuncentro de um triangulo sao colineares) e usando o fato de que o ortocentro de BMM' e' fixo sobre BC, mostra-se que a projecao do circuncentro de BMM' sobre BC e' um ponto fixo. Analogamente, mostra-se que a projecao do circuncentro de AMM' sobre AC e' um ponto fixo. v) Os circuncentros de BMM' e AMM' sao as projecoes do centro O da esfera nestas faces. Com isto, concluimos ateh aqui que estas projecoes quando projetadas (nao tem como evitar esta frase) em BC e AC sao fixas. Logo, a projecao do centro O esfera no plano ABC e' um ponto fixo P. vi) A partir do resultado (v) acima, conclui-se que o lugar geometrico de O e' uma reta ortogonal ao plano ABC passando por P. Isto e' uma reta paralela a r' passando por P. Tudo isto eh detalhado no arquivo do ime9b.pdf (paginas 202 e 203 da versao 9b). Claro que fica mais facil acompanhar esta solucao com figuras. Agradeco mais uma vez ao Luis Lopes pela grande ajuda. Abraco, sergio PS Nao cheguei a incluir a solucao do Paulo Santa Rita. Na verdade vou comecar a le-la ainda esta semana. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
