---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 11 May 2006 16:38:26 -0300 Assunto: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros
> Alguem conhece este teorema? > Suponhamos que P seja um polinomio do grau n com coeficientes inteiros e > tenha um numero impar de coeficientes impares, incluindo, dentre estes > ultimos, os coeficientes do termo independente e do termo dominante. Entao, > P nao tem raizes a + b*i nas quais a e b sejam ambos racionais. O que > implica que P nao admite raizes reais racionais. > Eu vi um esquema da demonstracao, nao entendi tudo. No caso especifico de > n=2 a demosntracao eh simples. > Artur > > Suponhamos que (a + bi)/c seja uma raiz de p(x), com a, b e c inteiros, c <> 0 e mdc(a,b,c) = 1 (se mdc(a,b,c) > 1, poderiamos cancelar este fator comum de a, b e c). Nesse caso, (a - bi)/c tambem eh raiz ==> p(x) eh divisivel por c^2x^2 - 2acx + (a^2+b^2) (em Z[x]) Como o coeficiente lider e o termo independente de p(x) sao impares, temos que c^2 e a^2+b^2 sao impares, pois sao fatores do coeficiente lider e do termo independente, respectivamente. A condicao nos coeficientes significa que se z eh um inteiro impar, entao p(z) tambem eh impar. Em particular p(1) eh impar. p(1) = c^2 - 2ac + (a^2+b^2) = impar - par + impar = par ==> contradicao Logo, p(x) nao admite raizes em Q(i). Acho que eh isso. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
