E o truque da inducao eh o seguinte: Suponha spdg que a_1 <= a_2 <= ... <= a_n Caso 1: se a_1 = a_n, entao, os a_i sao todos iguais a 1 e acabou. Caso 2: a_1 < a_n ==> a_1 < 1 < a_n ==> (1 - a_1)*(a_n - 1) > 0 ==> a_1 + a_n > 1 + a_1*a_n ==> (a_2*...*a_(n-1))*(a_1*a_n) = 1 ==> (pela HI) a_2 + .. + a_(n-1) + a_1*a_n >= n - 1 ==> a_2 + ... + a_(n-1) + (a_1*a_n + 1) >= n ==> a_2 + ... + a(n-1) + (a_1 + a_n) >= n
[]s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 13 May 2006 14:44:51 -0300 Assunto: Re: [obm-l] duas perguntas! > Olá, > > a demonstração MA > MG pode ser feita da seguinte maneira, utilizando o > seguinte lema: > > Seja a_n > 0... Se a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n = 1, entao: a_1 + a_2 + a_3 + > ... + a_n >= n > > este lema pode ser demonstrado por inducao. > > Deste modo, vamos demonstrar a desigualdade de medias: > MG = (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)^(1/n) > MG^n = a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n > (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)/(MG^n) = 1 > > como temos n termos no numerador, e n termos no denominador, podemos escrever > do seguinte modo: > (a_1/MG) * (a_2/MG) * ... * (a_n/MG) = 1 > > aplicando o teorema: > > a_1/MG + a_2/MG + ... + a_n/MG >= n > > (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n >= MG > > MA >= MG > > abraços, > Salhab > > ----- Original Message ----- > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Saturday, May 13, 2006 10:31 AM > Subject: [obm-l] duas perguntas! > > > Bom dia caros colegas da lista. Tenho duas perguntas a fazer, uma simples > e outra nem tanto. > 1. Pode-se dizer que um retângulo ou um quadrado são trapézios, ou melhor, > que os paralelogramos são trapézios? > > 2. Onde eu poderia encontrar uma demonstração não tão complicada sobre a > desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para o caso geral, ou seja, n > 1 números positivos? > > Um abraço! > > Vanderlei > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================