Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG <= MA. Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo. a < b + c ==> 2a < a + b + c = 2p ==> a < p ==> p-a > 0 Analogamente, p-b >0 e p-c > 0. Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3). Heron ==> A^2/p = (p-a)(p-b)(p-c) MG <= MA ==> (A^2/p)^(1/3) = ((p-a)(p-b)(p-c))^(1/3) <= ((p-a)+(p-b)+(p-c))/3 = p/3 ==> A <= p^2/(3*raiz(3)), com igualdade sss p-a = p-b = p-c sss a = b = c
[]s, Claudio. --------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 14 May 2006 06:00:44 -0300 Assunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima! > On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +0000, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro > > constante, ele terá área máxima quando for equilátero? > > Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a) > e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a), > o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área > estritamente maior do que qualquer outro. > Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C, > o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto > mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A. > > Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C. > A cada passo, se o triângulo não for equilátero, > você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro. > Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero. > > []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
