On Wed, Jun 21, 2006 at 02:20:11PM -0300, Maurizio Casalaspro wrote: > Olá a todos, > > recentemente pedi ajuda com o processo de Bion Rinaldini, mas estudei aqui e > consegui um progresso. > > Seja o centro da circunferência na (2r,0), aonde r é o raio da > circunferencia, da seguinte forma: > http://i6.tinypic.com/155jwpf.gif > > E seja L o numero de lados que terá o polígono, então divido o diamentro > de > pé da circunferencia em L partes iguais. Quero uma função que parta da > origem e passe pela segunda divisão do diametro em L lados, de forma que > essa altura valha r-4r/L > > > RESUMINDO > A função é f(x)=(1/2-2/L).x.r > A circunferencia é (x-2r)^2+y^2=r^2 > > Quero provar que o ponto da direita dista do ponto (2r,0) exatamente o lado > de um eneágono que será inscrito nessa circunferência. > > Ouuuu, aparentemente mais facil... provar que se eu tiver funções do tipo > f(x)=(1/2-2Y/L)xr sendo Y constante inteiro sem que 2Y/L ultrapasse 1, cria > pontos com intersecções da circunferencia do lado direito que são > equidistantes. > > Como exemplo, vou mostrar um eneágono: > http://i5.tinypic.com/155kmli.jpg > Devo provar que os lados em negrito são iguais... > > (isso parece muito com física ótica, mas não sei fisica ótica então > travei) > (acho que tem a ver com o angulo de reflexão ir para o centro da > circunferência... sei lá) > > Eu gostaria muito que alguém que tiver alguma ideia responda rapidamente > pois devo provar esse processo até quinta de noite...
Antes de mais nada: este processo que você descreve é uma aproximação. Não existe contrução exata com régua e compasso para o heptágono nem para o eneágono regulares. Para mostrar que a construção é uma aproximação razoável, a coisa mais ingênua a fazer é calcular com uma calculadora ou software matemático as coordenadas aproximadas dos pontos. Na sua figura, a circunferência é (x-2)^2 + y^2 = 1 e as retas passam por (0,0) e pelos pontos (2,1), (2,5/9), (2,1/9), (2,-3/9), (2,-7/9). Ou seja, são as retas y = x/2, y = 5x/18, y = x/18, y = -3x/18, y = -7x/18. Uso agora o maple para encontrar as coordenadas dos pontos: > eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = 5*x/18}: fsolve(eqns); {x = 2.670587992, y = 0.7418299977} > eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = x/18}: fsolve(eqns); {x = 2.986143113, y = 0.1658968396} > eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = -3*x/18}: fsolve(eqns); {x = 2.877496645, y = -0.4795827743} > eqns := {(x-2)^2 + y^2 = 1, y = -7*x/18}: fsolve(eqns); {x = 2.379288001, y = -0.9252786672} Compare isto agora com os valores corretos: > print(evalf(2+sin(2*Pi/9)), evalf(cos(2*Pi/9))); 2.642787610, 0.7660444431 > print(evalf(2+sin(4*Pi/9)), evalf(cos(4*Pi/9))); 2.984807753, 0.1736481773 > print(evalf(2+sin(6*Pi/9)), evalf(cos(6*Pi/9))); 2.866025404, -0.5000000000 > print(evalf(2+sin(8*Pi/9)), evalf(cos(8*Pi/9))); 2.342020143, -0.9396926208 Como você pode ver, é uma aproximação apenas razoável, com erros às vezes maiores do que 0.025 = 1/40. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================