Olá Aline,
tem um problema na sua solucao..
A volta do teste da razao não é válido... isto é.. se a série converge, nao
implica que o teste da raiz é menor que 1...
como contra exemplo, temos a série harmonica que converge e o teste da raiz
é 1...
o que vc poderia estar usando é, se a série converge, entao o teste da raiz
é menor ou igual a 1.. o que pode ser
demonstrado do seguinte modo:
suponha que o teste da raiz é maior que 1, entao, pelo teorema, a seria
diverge, o que contraria q hipotese dela convergir,
logo, absurdo.
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: "Aline Oliveira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, June 28, 2006 7:46 PM
Subject: [obm-l] Re: Convergência de Série
Também não sei se tá certo... Mas... =/
Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) -> L qdo n-> infinito.
Se L < 1, a série converge.
Como Soma (n>=1) (a_n)^2 converge, limite de (a_n+1/a_n)^2 quando n
tende a infinito é menor que 1 -> (a_n+1/a_n) quando n tende a
infinito é menor que 1
Ratio Test no segundo somatório:
((a_n+1/n+1) / (a_n/n)) = (a_n+1/a_n) x (n/n+1) que é menor que 1,
logo a série converge.
Em 28/06/06, claudio.buffara<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon,
juntamente com a minha solução errada.
O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução
correta.
Seja (a_n) uma sequência de números reais.
Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também
converge.
Solução errada:
Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0
então
(a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.
Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==>
a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>
SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.
[]s,
Claudio.
--
Aline Oliveira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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