|
Olá Claudio,
nao analisei sua demonstracao, mas segue a
minha:
Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 > 0, assim: a_n^2 -
a_n/n + 1/n^2 > 0, logo: a_n/n < a_n^2 + 1/n^2
como SOMA(a_n^2) converge e SOMA(1/n^2) converge,
entao, sua soma converge.
pelo teste da comparacao, SOMA(a_n/n)
converge.
vou analisar agora sua solucao, se eu encontrar o
erro mando em outro e-mail.
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, June 28, 2006 5:46
PM
Subject: [obm-l] Convergência de
Série
Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do
Elon, juntamente com a minha solução errada.
O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução
correta.
Seja (a_n) uma sequência de números reais.
Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n
também converge.
Solução errada:
Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n >
n_0 então (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.
Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==>
a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>
SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.
[]s,
Claudio.
| 
