---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Jun 2006 23:24:48 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série
> Olá Claudio, > nao analisei sua demonstracao, mas segue a minha: > > Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 > 0, assim: a_n^2 - a_n/n + 1/n^2 > 0, logo: a_n/n > < a_n^2 + 1/n^2 > como SOMA(a_n^2) converge e SOMA(1/n^2) converge, entao, sua soma converge. > pelo teste da comparacao, SOMA(a_n/n) converge. > Isso mesmo, sendo que a consequencia de (a_n - 1/n)^2 >= 0 eh, de fato: a_n/n <= (1/2)*(a_n^2 + 1/n^2). Tambem eh interessante notar que a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/log(n)^2 Entao, SOMA a_n/n = SOMA 1/(n*log(n)^2) converge (teste da integral) mas SOMA a_n^2 = SOMA 1/log(n)^4 diverge. *** Outro problema interessante do mesmo capitulo do Elon eh: Provar que se (a_n) eh decrescente e SOMA a_n converge entao n*a_n -> 0. Mais uma vez a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/(n*log(n)). A condicao de a_n ser monotona tambem eh essencial. Tome a_n = (-1)^(n)/n. []s, Claudio. > vou analisar agora sua solucao, se eu encontrar o erro mando em outro e-mail. > > abraços, > Salhab > > ----- Original Message ----- > From: claudio.buffara > To: obm-l > Sent: Wednesday, June 28, 2006 5:46 PM > Subject: [obm-l] Convergência de Série > > > Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, > juntamente com a minha solução errada. > O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução > correta. > > Seja (a_n) uma sequência de números reais. > Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também > converge. > > Solução errada: > Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0 então > (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge. > Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==> > a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==> > SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série: > SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente. > > []s, > Claudio. > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================