Ola' Claudio e Bernardo, nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PI foi tirado da cartola. Como provar que PI vale 3.141592653...?
Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que 1.414 * 1.414 < 2 1.732 * 1.732 < 3 De onde sqrt(2) + sqrt(3) > 3.146 , que 'deve ser maior que PI' - foi isto que tentei provar quando tambem resolvi 'fazer na marra'... Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o 'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou de pi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n>47, a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os dois termos principais do numerador sempre sao uma diferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com cara de sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao. Tambem tentei usar alguma integral que o resultado fosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao, alterando 'conveniente' o integrando, talvez fosse possivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisa intermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem nao consegui. Entao apelei para a soma dos termos da serie (-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale (31/30240)*pi^6 Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer: 1/1 - 1/64 + 1/729 > (31/30240) * pi^6 de onde, pi < 3.142 . Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nada melhor... []s, Rogerio Ponce --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao > geometrica ou trigonometrica com um minimo de > elegancia (com todo o respeito a sua solucao, > claro!) ... > > A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante > boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, > menos de 0,15%. > Ao aproximar Pi por excesso por meio do > semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular > (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta > precisao soh eh ultrapassada quando o numero de > lados eh >= 48. > Ou seja, 47*tan(Pi/47) > raiz(2) + raiz(3) > > 48*tan(Pi/48) > Pi. > Isso talvez signifique que uma demonstracao > puramente geometrica nao eh muito trivial. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 > > Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade > com Pi > > > Viva as férias (até que enfim) > > > > Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo > "NA MARRA"): > > Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): > > 2 + 2 raiz(6) + 3 > Pi^2 <=> 2 raiz(6) >= Pi^2 - 5 > > > > E mais uma vez (notar que Pi > 3 => Pi^2 > 9 > 5): > > 24 > Pi^4 - 10Pi^2 + 25 <=> > > 0 > Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 > > > > Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... > > x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) => apenas duas raizes, as > da raiz positiva do quadrado > > x^2 = 10 + um pouquinho > > > > Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que > raiz(10) = 3.16.. e pronto: > > as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e > portanto o valor em > > Pi é menor do que zero pois o coeficiente de > segundo grau é positivo. > > > > Uma calculadora dá: > > sqrt(2) + sqrt(3) - %pi > > ans = 0.0046717 > > > > T+, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > On 7/15/06, claudio.buffara wrote: > > > > > > Esse tah me enchendo o saco: > > > > > > Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao > necessariamente distintos) > > > possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma > eh divisivel por n. > > > > > > *** > > > > > > Ha alguns meses alguem mandou pra lista o > problema de se provar que: > > > raiz(2) + raiz(3) > Pi. > > > Foi enviada alguma solucao? > > > > > > []s, > > > > > > Claudio. _______________________________________________________ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================