Hm, tem uma solução que não precisa desses fatos relativamente avançados (de fato, esse problema foi o problema mais difícil da OBM 2005, nível 1). Caso vocês perguntem, não me lembro se alguém resolveu, mas me lembro que alguns alunos chegaram muito, mas muito perto de resolver. Então, como problema mais difícil da prova, eu o considero adequado.
Seja n^2 = 2^(2k)*M^2, em que M é ímpar (note que tudo o que fizemos é separar os fatores 2 de n^2, não perdemos generalidade aqui). Provaremos que n^2 não é um número perfeito (ou seja, que a soma de seus divisores positivos não é 2n^2) mostrando que a soma de todos os seus divisores positivos (incluindo n^2) é ímpar. Para isso, basta somarmos os divisores ímpares de n^2, já que os pares não alteram a paridade da soma. Mas os divisores ímpares de n^2 são os divisores de M^2. Fazemos então os pares {d, M^2/d} de divisores de M^2, que particionam, junto com o "par" {M, M} = {M}, o conjunto dos divisores de M^2. Cada par tem soma par, com exceção do conjunto unitário {M}. Assim, a soma dos divisores de M^2 é ímpar e, consequentemente, a soma dos divisores positivos de n^2 é ímpar. Logo n^2 não pode ser um número perfeito. É claro que quam já conhece a fórmula da soma dos divisores de n pode verificar isso imediatamente: tal soma é s(n^2) = produto(1 + p + p^2 + ... + p^(2k)), sendo que p é primo divisor de n^2 e p^(2k) é a maior potência de p que divide n^2 (o expoente deve ser par porque n é um quadrado perfeito). Se p = 2, a soma 1 + p + p^2 + ... + p^(2k) é ímpar; se p é ímpar, como a soma 1 + p + p^2 + ... + p^(2k) tem 2k + 1 parcelas, é ímpar. Logo s(n^2) é o produto de ímpares, que é ímpar. Agora, eu estou curioso sobre a afirmação sobre números perfeitos ímpares. Quando eu tiver algum tempo vou pensar. []'s Shine --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Os únicos números perfeitos conhecidos são aqueles > da forma: > N = 2^(p-1)*(2^p-1) onde p e 2^p-1 são primos ==> > o primo 2^p-1 aparece com expoente 1 na decomposição > de N ==> > N não pode ser quadrado perfeito. > > Para o caso de um número perfeito ímpar (se existir > algum...) a conclusão decorre do seguinte resultado, > cuja demonstração eu proponho aqui como um > exercício: > Se N for um número perfeito ímpar, então N é da > forma p^(4k+1)*M^2, onde p é um primo == 1 (mod 4), > k é um inteiro não-negativo e M é um inteiro ímpar > primo com p. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Tue, 25 Jul 2006 13:08:17 +0000 (GMT) > > Assunto:[obm-l] numeros perfeitos > > gostaria de saber como provar que todo numero > perfeito nunca pode ser quadrado > perfeito???????????? > > > > O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================