Bom, peguei o bonde andando, já vi direto a dica do Cláudio. Na base k, o próprio k eh representado por 0 e 1/k = 0,1. Sendo m grau de k, temos que p(n+1) - p(n) eh um polinomio de grau m-1 no qual o coeficiente do termo lider é m. Assim, para n suficientemente grande, p(n+1)>0, p(n)>0 e p(n+1) - p(n) >0. Além disto p(n+1) - p(n) eh monotonicamente crescente. Issoimplica que, na base k, SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) = R + 0,....1 + 0,.....1, sendo que, nos termos fracionarios, a "distância" entre a posição do dígito 1 cresce monotonicamente. Desta forma, a representacao do limite L da subserie (que existe, pela comparacao com a serie geometrica de razao 1/k) dos termos fracionarios eh infinita e nao periodica, o que siginfica que L eh irracional. A série original converge entao para R + L, que eh irracional.
Faltou formalizar um pouco melhor, mas acho que a ideia eh essa. Uma dúvida: Éh necessario que p seja monico? Nao chegaremos aa mesma conclusao se o coeficiente do termo lider for inteiro positivo? Abracos Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: terça-feira, 22 de agosto de 2006 11:02 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais Por enquanto, aqui vai uma dica: representacao em base k. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 21 Aug 2006 21:03:18 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais > Claudio, pensei pensei e nao consegui solução alguma. > Você poderia compartilhar a sua ? > > Júnior. > > Em 20/08/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa... > > > > Prove que se k eh um inteiro >= 2 e p(x) um polinomio monico, de > > coeficientes inteiros e grau >= 2, entao: > > SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional. > > > > Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh irracional, > > qualquer que seja k > 1 (k inteiro). > > > > []s, > > Claudio. > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================