A prova do teorema geral baseia-se no fato de que, se a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n>0 sao inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova baseia-se no principio da casa dos pombos.
Assumindo-se demonstrado o teorema sobre o conjunto acima, temos o seguinte: Para todo y de f([0,p]) existe x em [0,p] tal que y = f(x). Como p eh irracional, o conjunto P= {m*p + n | m e n>0 sao inteiros} eh denso em [0,p]. Como x eh ponto de acumulacao de [0,p] e P eh denso em [0,p], segue-se que x eh ponto de acumulacao de P. Assim, existe uma sequencia z_k = m_k * p + n_k em P que converge para x que tem seus termos distintos 2 a 2. Em virtude da irracionalidade de p e do fato de que os m_k e n_k sao inteiros, eh facil demonstrar que as sequencias m_k e n_k tambem tem seus termos distintos 2 a 2. Assim, podemos escolher uma subsequencia n_k_j de n_k que seja estritamente crescente. Isto eh possivel porque n_k eh limitada inferiormente por 1, tem uma infinidade de termos distintos e seus termos sao inteiros. Eh agora imediato que (n_k) eh uma subsequencia de (n) e que (f(n_k)) e subsequencia de f(n). Pela continuidade e periodicidade de f, temos que f(z_k) = f(m_k * p + n_k) = f(n_k) -> f(x) = y, pois z_k -> x. Como f(n_k) eh subseq. de f(n), o teorema fica demosntrado. Se vc desejar, posso mandar por email a prova quanto ao conjunto {m*p + n | m e n>0 sao inteiros}. Abracos Artur --- Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da > lista. Eu bem que > imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que > levasse a qualquer número > de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar > isso, acabei por não > usar. > > Minha demonstração foi a seguinte: > sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi], > onde [x] representa o > maior inteiro menor do que ou igual a x. Aà basta > escrever algumas > desigualdades, e considerar o crescimento de seno e > mostrar que todos os > temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os > termos c_n estão em [-1, > -1/2] (a desigualdade é : x - 1 < [x] <= x, então > pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 + > 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3 > + 2npi < [pi/2 + 2npi] < > pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da > forma [pi/6 + 2npi, > pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na > desigualdade, sem alterar o > sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente > para -1 < c_n < -1/2.). > Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então > temos que a_n também o > será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n > forem convergentes, > necessariamente convergem para limites diferentes > (b_n --> L em [1/2,1], e > c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente. > Em todo caso, a_n é > divergente. > > On 8/22/06, Artur Costa Steiner > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa > em [0,1]. Isto eh, todo > > elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia > de sen(n). Isto eh um > > caso partcular de um teorema que discutimos aqui > na lista em outubro ou > > novembro de 2004. > > > > Seja f uma funcao continua e periodica de R em R > cujo periodo fundamental > > p seja irracional. Temos entao que a sequencia > (f(n)), n=1,2,3...,eh densa > > no intervalo fechado f([0, p]). > > > > No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo > periodo fundamental eh o > > irracional 2*pi. > > > > Artur > > > > > > -----Mensagem original----- > > *De:* [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > nome de *Bruno França dos Reis > > *Enviada em:* terça-feira, 22 de agosto de 2006 > 15:36 > > *Para:* OBM > > *Assunto:* [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n > > > > Olá. > > > > Recentemente, me deparei com o seguinte problema: > verificar se a seqüência > > definida por a_n = sen(n) é convergente ou > divergente. > > > > A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma > demonstração para tal > > fato, mas acredito que devam ter outras mais > bonitas. Alguem conhece ou quer > > tentar? > > Não vou postar a minha demo agora para deixar quem > quiser brincar. Amanhã > > eu posto. > > > > Bruno > > > > -- > > Bruno França dos Reis > > email: bfreis - gmail.com > > gpg-key: > http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > > icq: 12626000 > > > > e^(pi*i)+1=0 > > > > > > > -- > Bruno França dos Reis > email: bfreis - gmail.com > gpg-key: > http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > icq: 12626000 > > e^(pi*i)+1=0 > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================