Sauda,c~oes, Oi Claudio,
=== (Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções geométricas? === N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa. Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q. Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui. %%%%%% Retomando o email. O problema (*) Seja p>=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} + + x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh e Lang. A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} = = x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1 e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = =[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p. Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o problema 1681, An Irreducible Polynomial. Seja p>=3 um primo. Prove que o polinômio x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p é irredutível em Z[x]. Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because f(+-1) > 0 and f(+-p) > 0, it follows from the rational root theorem that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem). Since (usando a mesma idéia do problema (*)) f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} = \frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} , we have f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} = x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k , where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0<=k<=p-3. Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é. Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café, continua. Hum.... Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa a n~ao divide X Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0<=k<=p-3 , and p^2 \not| a_0 , (OK) it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1) has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x]. N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como chegar na conclus~ao do at least? However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did, the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible in Z[x]. (OK, em Q[x] também). === Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui. === Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais curta do que esta? []'s Luis ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================