Bem, o passo seguinte seria, naturalmente, definir S: S=limite {m->oo} SOMA(i=1..m) { (1/2^i)*1/r[i] } = SOMA(i=1..oo) { (1/2^i)*1/r[i] }
A minha idéia original seria, com os passos (1) e (2) adequadamente demonstrados, observar o grau algébrico de Sm, quando m->oo. Como o grau algébrico de Sm cresceria sempre com m, poderíamos inferir que o grau algébrico de S não está definido. E portanto, isso deve levar a concluir que S é transcendente. Porém, este raciocínio é forte o suficiente para ser considerado uma prova de que S é transcendente? Sem dúvida seria melhor uma prova mais robusta. Mas talvez isso não seja muito fácil. Parece que as provas de transcendência de Pi são bastante complicadas afinal. A reflexão destas mensagens surgiu da observação da série abaixo: 1/Pi^2 = 1/8 - 1/16/(2+(2)^.5) -1/64/(2+(2+(2)^.5)^.5) - 1/256/(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5) - 1/1024/(2+(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5)^.5) -1/4096/(2+(2+(2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5)^.5)^.5)-... De qualquer maneira, acho que vale a pena postar de onde vem esta série, pela simplicidade com que ela pode ser obtida. Continuo daqui a pouco... Demétrio ----- Mensagem original ---- De: Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> Para: lista obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br> Enviadas: Segunda-feira, 25 de Setembro de 2006 10:43:48 Assunto: [obm-l]Construção de Transcendente? Olá, Eu estava observando uma certa série há alguns dias, quando me ocorreu uma idéia que pareceu bem interessante e que gostaria de discutir com a lista (apesar de tratar-se de um assunto onde eu tenho muito pouca base...). É o seguinte: (Passo 1) - O primeiro objeto de interesse a considerar é a raiz de maior módulo dos polinômios obtidos pela seguinte construção: Seja Pa(x) = x-k (k primo positivo) Seja Pb(x) = x^2 – k P[1]=Pb(Pa) P[n]=Pb(P[n-1]) Isto é, P[n] é o polinômio obtido pela composição iterativa de Pb(Pa), e depois Pb sucessivamente. Para clarear, um exemplo: Pa(x)=x-2 Pb(x)=x^2-2 P[1]=(Pa)^2 – 2=(x-2)^2 - 2=x^2-4x+2 P[2]=(P1)^2 - 2=x^4-8x^3+20x^2-16x+2 P[3]=(P2)^2 - 2=x^8-16x^7+104x^6-352x^5+660x^4-672x^3+336x^2-64x+2 ... P[n]=(P[n-1])^2 - 2 As maiores raízes (r[n]) destes P[n]s são: P[1] -> r[1]=2+2^.5 P[2] -> r[2]=2+(2+(2)^.5)^.5 P[3] -> r[3]=2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5 Isto é, os r[n] são sqrts aninhadas, na forma r[1] = k + sqrt(k); rn = k + sqrt(r[n-1]). (Passo 2)- O passo seguinte é mostrar que o grau algébrico de r[n] cresce com 2^n. Isto é, no exemplo anterior, r[2] é algébrico de grau 4, r[3] é algébrico de grau 8, etc. Ou, na verdade, bastaria mostrar que o grau algébrico de r[n] cresce SEMPRE com n. Isso parece razoável, porque r[n] possui n sqrts aninhadas. Porém, lembrando que o grau de P[n] cresce com 2^n, parece mais adequado mostrar que P[n] é sempre irredutível. Aí eu me embaralhei um pouco. O que eu tentei foi o seguinte: 1=>P[1] é irredutível pelo critério de Eisenstein 2=>O coeficiente do termo de maior grau em P[n] é sempre 1 3=>O termo a0, segue a sequência abaixo: P[1]=>k^2-k; P[2]=>(k^2-k)^2-k; P[3]= ((k^2-k)^2-k)^2-k; que claramente é divisível por k, mas não por k^2 4=>os demais coeficientes são combinações lineares de potências de números que são divisíveis por k, já que os coeficientes de P1 são divisíveis por k. 5=> Por (1,2,3,4), P[n] deve atender o critério de Eisenstein. (Passo 3)- O terceiro passo é definir um número construído pela soma Sm abaixo, e mostrar que Sm é também de grau algébrico >= ao grau algébrico de r[m]. Sm=SOMA(i=1..m) { (1/2^i) * 1/r[i] } A razão para esta forma da expressão de Sm eu explico mais tarde. O argumento para justificar grau algébrico Sm >= grau algébrico r[m] é o seguinte: Salvo engano, r[n] (e também qq potência inteira positiva de r[n]) não pode ser obtido por combinações lineares de potências inteiras de r[i],i<n, pois a expressão de r[n] usa sqrt de r[n-1] : 1=> r[n] = k + sqrt(r[n-1]) 2=>sqrt(r[n-1]) não pode ser comb. linear de potências inteiras positivas de r[n-1] 3=>então: r[n] não pode ser comb. linear de potências inteiras positivas de r[n-1]; e pelas mesmas razões, de qq r[i],i<n. 4=> com r[m] linearmente independente dos r[i],i<m., o grau algébrico de Sm não pode ser inferior ao grau algébrico de r[m] Por fim, vai começar a questão realmente interessante que eu quero discutir com a lista. Mas esta vale mais a pena propor com os passos (2) e (3) adequadamente superados. Como eu comentei no início, me falta base no assunto e eu considero as minhas justificativas até agora meio fracas, de forma que gostaria de opiniões/sugestões da lista. Agradeço qualquer comentário. []´s Demétrio _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= _______________________________________________________ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================