Re: [obm-l] eQuaCao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema e um classico. Ja vi ele numa das listas de preparacao que eu usava para a OBM, e ela ja chegou a cair na USAMO (a olimpiada estadunidense de matematica)

Bem, outro modo de fazer e o seguinte:

x^4+x^3+0x^2+0x-1 = 0

Se a,b,c,d sao as raizes, sabemos que
a+b+c+d=-1
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0
abc+abd+acd+bcd=0
abcd= -1


Agora, temos que calcular o polinomio cujas raizes sao
ab,ac,ad,bc,bd,cd
Para tal, temops que calcular todas as somas, todos os produtos 2 a 2 somados, todos os produtos 3 a 3 somados, ..., o produto de todos.

Bem, vamos lá!
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0

abac+abad+abbc+abbd+abcd
+acad+acbc+acbd+accd
+adbc+adbd+adcd
+bcbd+bccd
+bdcd=
a^2bc+a^2bd+ab^2c+ab^2d+abcd
+a^2cd+abc^2+abcd+ac^2d
+abcd+abd^2+acd^2
+b^2cd+bc^2d
+bcd^2=

Em 23/10/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

 

De:	[EMAIL PROTECTED]

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART)

Assunto:

[obm-l] eQuaCao

> x^4 + x^3 -1 = 0

> se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo

> x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0

>  

>  

> alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?

>  

>

Eu não.

Mas com um monte de contas fica assim...

 

f(x) = x^4+x^3-1 ==>

f'(x) = x^2(4x+3) ==>

f'(x) < 0 se x < -3/4  e  f'(x) > 0 se x > -3/4 e x <> 0.

f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 ==>

f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1.

As outras duas raízes são complexas conjugadas.

Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas.

Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2.

 

x^4+x^3-1 = 0 ==> x+1 = 1/x^3
 
u+1+iv = 1/(u+iv)^3   (i)
u+1-iv = 1/(u-iv)^3   (ii)
 
Multiplicando (i) e (ii):

(u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 ==>

k+2u+1 = 1/k^3 ==>
u = (1-k^3-k^4)/(2k^3)   (iii)

Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))
2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 ==>

2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 ==>

2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==>
u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3   (iv)

Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))
2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 ==>

2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 ==>

2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 ==>

-1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 ==>

-1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3    (v)

 

Substituindo (v) em (iv):

u+1 = -u(1+2/k^2) ==>

u = -k^2/(2(k^2+1))   (vi)

 

Igualando (iii) e (iv):

-k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) ==>

k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 ==>

k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0

De onde você tirou esse problema?

 

[]s,

Claudio.

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