Errei uma fatoracao boba... Segue abaixo a solucao corigida.
---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 23 Oct 2006 10:58:04 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração > ---------- Cabeçalho original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200 > Assunto: [obm-l] Demonstração > > > Bom dia a todos! > > > > Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser > > n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou > n^3 ou... > > Para p = 2, 3 e 5 o resultado eh obvio, pois: 2^2 + 3^2 = 13 = 13^1, 2^3 + 3^3 = 35 = 35^1, 2^5 + 3^5 = 375 = 375^1 Assim, suponhamos que p > 5 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum k >= 2. Como p eh impar, existe a fatoracao: >n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1)) >==> 5 divide n^k ==> 5 divide n ==> 5^k divide n^k ==> 5^k divide 2^p + 3^p ==> 5^(k-1) divide 2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) ==> como, por hipotese, k >= 2, 2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==> (usando 3 == -2 mod 5) 2^(p-1) - 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 - ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==> 2^(p-1)*(1 + 1 + 1 + ... + 1) = 2^(p-1)*p == 0 (mod 5) ==> contradicao, pois 5 nao divide 2 nem p (suposto > 5) Logo, k nao pode ser >= 2. []s, Claudio. > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================