Oi Nicolau Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise:
(1) - Se f eh derivavel em I, entao f eh Lipschitz em I se, e somente se, a sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M e anmenor constante de Lipschitz de f em I. (2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas em I. (3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B, no qual a sequencia (g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que g seja limitada em A por M. Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco de Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em I e com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto I' no qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1) concluimos que |f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando assim provada a proposicao. Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah certo. Abracos Artur ----- Original Message ---- From: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 1, 2006 3:46:57 PM Subject: Re: [obm-l]FunçãoLipschitz em um subintervalo On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e > talvez seja mesmo): > > Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. > Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz. Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho que a demonstração não deve ser tão simples assim. Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0 onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido. Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável. Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum subintervalo cujo fecho inclua 0. Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade nem sempre implica localmente Lipschitz. A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas. Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua) ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert, respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços o problema análogo é fácil. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================