Aqui vai uma usando trigonometria. Serve?
Sejam O = (0,0) e A = (1,0).
Chamando o ângulo POQ de 2t, teremos:
Triângulo POQ isósceles ==> OPQ = OPR = 90-t.
Triângulo POR é retângulo em O ==> ORP = t.
Logo, OR = OP*ctg(t) = r*ctg(t).
Triângulo AOQ é isósceles ==> AOQ = AQO = 90-2t ==> OAQ = 4t ==>
OQ/OA = 2*sen(2t) = r/1 ==> r = 2*sen(2t) ==>
OR = 2*sen(2t)*ctg(t) = 4*sen(t)*cos(t)*cos(t)/sen(t) = 4*cos^2(t).
r -> 0 ==> sen(2t) -> 0 ==> t -> 0 ==> OR -> 4.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 +0000 (GMT) |
| Assunto: | [obm-l] Limite interessantissimo (2a edição) |
> Caros colegas da lista,
>
> Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte
> desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado
> em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando
> geometria simples. Aliás o legal desse problema foi
> justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a
> solução geométrica.
>
> "Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e
> outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e
> centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de
> intersecção superior das circunferências e R é o ponto de
> intersecção da reta PQ com o eixo x.
>
> O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando
> r--->0+?"
>
> [],
> Marcelo Cruz
> (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática)
>
