A solução do Cláudio baseia-se em propriedades das exponenciais que podem ser verificadas por inspeção.
Basicamente para resolver ele inicialmente checou que x=0 e x=1 eram soluções (alguém pode rapidamente fazer isso em uma olimpíada, embora é preciso ter alguma intuição anterior, ou reescrevendo a equação ou então desenhando o gráfico da função para saber mais ou menos a forma da solução e onde procurá-la). A dúvida consistia se essas eram as *únicas* soluções. Para constatar que isso é verdade basta argumentar da seguinte forma menos matemáticamente rigorosa: 1) Escreva a equação como: 3^x - 2^x = 5^x - 4^x 2) Observe que os termos exponenciais do lado direito crescem mais rápidamente quando x>1 e mais lentamente quando x< 1 (para ver isso claramente construa os gráficos sobrepostos de f(x) = 3^x - 2^x e g(x) = 5^x - 4^x ). 2') Verifique que 3^x - 2^x é sempre menor que 5^x - 4^x quando x > 1 3) Devido 'a condição anterior os gráficos não vão mais se cruzar em nenhum lugar além de 0 e 1. (*) Claro que para provar a condição 2 rigorosamente temos que usar derivadas que é o que faz a solução abaixo. Mas e se estivéssemos procurando soluções complexas da equação? Ah... aí então gráficos não ajudariam mais... e devido à periodicidade da exponecial ( e^(x + 2*k *pi ) = e ^x ) teríamos infinitas soluções. On 11/15/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel! > Pessoal como faço pra resolver essa equação? > Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x > > Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! > Abraços a todos! Rodolfo. > x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes. Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos: 4^x + 10^x = 6^x + 8^x ==> (7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) -> R dada por: f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x. Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3). f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos: 7 + t > 7 - t > 0 ==> se x > 1, entao (7 + t)^(x-1) > (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0 se 0 < x < 1, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) < 0 se x < 0, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0 (pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x < 0) Assim: x > 1 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3) 0 < x < 1 ==> f_x'(t) < 0 ==> f_x eh decrescente ==> f_x(1) > f_x(3) x < 0 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3) Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
-- Ronaldo Luiz Alonso -------------------------------------- Computer Engeener LSI-TEC/USP - Brazil.