Continuação da questão 3 da obm-u: Se a bola partir de algum outro ponto da elipse na direção de uma reta tangente ao círculo inscrito em ABC, então a nova órbita também será um triângulo?
*** Problema correlato: Numa mesa de bilhar elíptica em que ângulo de incidência = ângulo de reflexão, prove que: 1) se a bola parte de qualquer ponto da elipse e passa por um dos focos, então: a) entre duas rebatidas consecutivas, a bola sempre passará por um dos focos da elipse e alternará focos a cada rebatida; b) a trajetória da bola converge para o eixo maior da elipse. 2) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola não intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então a trajetória da bola jamais intersectará este segmento e, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma elipse fixa com focos F e F'. 3) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então cada segmento da trajetória da bola intersectará este segmento e será tangente a uma hipérbole, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma hipérbole fixa com focos F e F'. 4) No item (3) podemos ter uma órbita de período 3, tal como a situação descrita na questão da obm-u (ou seja, onde a bola fica percorrendo um triângulo fixo)? *** E pra não perder a viagem, aqui vai outro bem bonitinho: Dados o triângulo ABC (qualquer) e uma reta que intersecta AB em D, AC em E e o prolongamento de BC em F, prove que: |DB| + |DE| = |CB| + |CE| se e somente se |AB| + |AE| = |FB| + |FE|. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Tue, 21 Nov 2006 12:53:49 -0300 Assunto:[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006 > Esse eh o problema do bilhar eliptico (que eu nao teria resolvido sem a dica > das isogonais no site do majorando). > > Dado o triangulo ABC, inscrito numa elipse, temos que provar que se as > bissetrizes internas de B e C sao normais a elipse, entao > a bissetriz interna de A tambem serah normal a elipse. > > Sejam F e F' os focos da elipse e I o incentro de ABC ==> > AI, BI e CI sao bissetrizes de CAB, ABC e BCA, respectivamente. > > Pela propriedade de reflexao na elipse, temos: > BI e CI sao bissetrizes internas dos angulos FBF' e FCF', respectivamente. > > Logo, FBA = F'BC e FCB = F'CA ==> > F e F' sao conjugados isogonais em relacao ao triangulo ABC ==> > BAF = CAF'. > > Como AI e bissetriz de BAC, concluimos que AI eh bissetriz de FAF' ==> > AI eh normal a elipse. >
