Oi Ponce!
Valeu pela solução, mas vc acha que a Facamp tava querendo isso? Não é demais
pros vestibulandos?
Abraços e até dia 8/12...
Raul
----- Original Message -----
From: lponce
To: obm-l
Cc: fRANK FRANK ; barzeus
Sent: Thursday, November 23, 2006 10:28 PM
Subject: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
Olá Raul,
Vaai abaixo uma sugestão:
Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0.
Das relações de Girard (ou viete). x1+x2+....x100 = 600.
Do teorema da decomposição, p(x) = (x-x1)(x-x2)......(x-x100).Portanto,
p(7) = (7-x1)(7-x2)......(7-x100).
Nestas condições, provemos que:
se P(7)> 1, então existe ao menos uma raiz xi maior que 7.
demonstração ( Redução ao absurdo)
Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100)
seja maior que 7. Assim, 7- xi > 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da
desigualdade entre MA-MG,podemos escrever:
[ (7-x1) + (7-x2) + ....+ (7-x100) ] /100 >= [ f(7) ] ^ (1/100)
dai, [ (700 - 600)/100 ] ^100 > = f(7), isto é, f(7) < = 1, o que um
absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) > 1. Portanto, podemos afirmar que
existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque 7 - x k < =0, como xk é
diferente de 7,pois p(7)>1, conclui-se que xk > 7, finalizando a demonstração
pedida.
Um abraço
do amigo PONCE
desculpe-me por qualquer engano ..
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200
Assunto: [Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
> Boa tarde!
>
> Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx
+ e possua 100 raízes reais e que p(7)>1.
> Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7.
>
> Agradeço a ajuda,
>
> Raul
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[]a, L.PONCE.
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