Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7. Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3. 5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para todos os a_i).
A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar que: (p+1)(p+2)....(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões > Olá, > > sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes numeros é > divisivel por m!... > > como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de > representantes modulo m.. > deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei: > > a_1 = km > a_2 = km + 1 > a_3 = km + 2 > . > . > a_m = km + (m-1) > > isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante. > > assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos: > k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m > > temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1 > mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m > assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1) > para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante.. > novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m... > isto é, podemos reordena-los de modo que: > b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1... > > seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, m-2, ... > 2 e 1.. logo, é divisivel por m! > > se tiver algo errado, aguardo correcoes > abracos, > Salhab > > > > ----- Original Message ----- > From: ivanzovisk > To: obm-l > Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM > Subject: [obm-l] Duas Questões > > > 1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é > divisivel por m! > > > > 2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas > ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================