---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200 Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico
> Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego > na demonstração completa nunca. > (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por > várias maneiras diferentes, mas não chego na solução) > > Ele diz o seguinte: > > Prove que: > > (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2 > > Sendo: > - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC. > - As alturas se encontrem no ponto H. > - Seja HL, HM e HN inraios. > > Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos > triângulos. > Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices > (A, B e C) > L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H. HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC. Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas. Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c e (LMN) = (ABC)/4 (ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16 (ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64 (a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==> 4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) = a^2*raiz(3)/16 = (LMN) Esquisito esse problema... []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================