Olá,
vamos propor o seguinte lema: det(A) <= n!, onde n é a dimensao da matriz
quadrada.
para n=1, temos: det(A) <= 1, ok!
para n=2, temos: det(A) = ab - cd <= ab <= 1 <= 2!
vamos supor que vale para k, e vamos mostrar que vale para k+1.
Seja A uma matriz quadrada de dimensao k+1, entao, aplicando o teorema de
laplace em uma fila qualquer, ficamos com:
det(A) = Somatório(i=1 até k+1, a_i * det(B_i)), onde a_i sao os elementos
da fila, e det(B_i) os determinantes, conforme o teorema.
mas, por hipotese, det(B_i) <= k! (pois B_i tem dimensao k), logo: det(A) <=
Somatório(i=1 até k+1, k!*a_i) <= Somatório(i=1 até k+1, k!) = (k+1) * k! =
(k+1)! (cqd)
portanto, esta provado que qualquer matriz quadrada de dimensao nxn com
entradas pertencentes a {0, 1} tem determinante <= n!
tem como melhorar essa desigualdade?
inicialmente eu pensei <= 1, mas nao saiu a demonstracao e me induziu a
tentar <= n, mas tb nao saiu e me induziu a mostrar <= n!, e saiu!
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, December 06, 2006 9:55 AM
Subject: [obm-l] Determinante de 0s e 1s
Vi esse aqui num site sobre curiosidades numericas:
Qual o valor maximo do determinante de uma matriz 10x10 cujas entradas
pertencem a {0,1}?
Generalize para uma matriz nxn.
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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