Bem agora deixarei a solução das questões, nossa ando muito ocupado. Ainda mais agora que vou começa o estágio de Engenharia.
1-Suponha f(m) = k^2 e f(m+1)=(k+1)^2, com m e k inteiros. Seja g(x)=f(x+m). Os conjuntos dos valores de f e de g para os inteiros que coincidem. Temos g(x) = x^2+cx+d para certos valores de c e d. Temos d = g(0)=f(m)=k^2 e 1 +c+d=g(1)=f(m+1)=(k+1)^2, donde d=k^2 e c = (k+1)^2-1-k^2=2k, ou seja, g(x)=x^2+2kx+k^2=(x+k)^2, e logo g(x) é um quadrado perfeito para todo x inteiro; Saudações aos amigos da lista. Há um tempo atrás alunos (assim como eu) sugeriram idéia para que nesta lista da OBM entrasse em discussão uma atividade mais voltada para o treinamento da OBM nível Universitário. Bem eu então resolvi aqui dar uma olhada em questões antigas que já caíram em provas de Olimpíadas (inclusive do exterior) e estou enviando para lista para os amigos assim compartilharem tbm e irem se preparando tbm para OBMU 2007. Irei hoje colocar 2 questões creio que será bom para todos (até para quem quer se divertir com elas ou propor de desafio para amigos) As questão são: 1) Os valores da função quadrática f(x)= x² +ax+b para dois inteiros consecutivos são os quadrados de dois inteiros também consecutivos. Mostre que os valores da função quadrática são quadrados perfeitos para todos os inteiros coincide com o conjunto dos valores de g para os inteiros. 2) Sejam M o ponto médio da base AB do trapézio ABCD; E um ponto interior ao segmento AC tal que BC e ME intersectam-se em F; G o ponto de interseção de FD e AB; H o ponto de interseção de DE e AB. Mostre que M é o ponto médio do segmento GH. Essas são questões de Olímpiadas da Rússia e Eslovênia respectivamente.Breve deixo as resposta. Bem quero dizer que se os amigos não conseguirem fazer o que importa é a tentativa e buscar da solução, mesmo não conseguindo. E claro espero que outros da lista tbm possam fazer o mesmo enviando questões e claro não se esqueçam de depois deixarem a solução!
Abraços a todos.>
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