(UFPB-65) Corta-se um pedaço de arame de comprimento d em dois outros que deverão ser vergados nas formas de um quadrado e de um círculo, respectivamente. Para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, em que razão o arame deve ser cortado. Suponha que o pedaço de arame com comprimento d seja dividido em duas outra partes com comprimentos a e b. d = a + b a = d - b (i) Do pedaço com comprimento a iremos formar um quadrado de lado l, logo teremos que 4l = a l = a/4 (ii) Do pedaço de arame com comprimento b iremos formar um círculo de raio r. O perímetro do círculo é o comprimento da circunferência que a delimita, assim teremos que 2.pi.r = b r = b/(2.pi) (iii) A soma das áreas destas figuras chamaremos S que será definida pela seguinte lei de formação: S = (l^2) + pi.(r^2) (iv) Substituindo (ii) e (iii) em (iv) teremos: S = [(a^2)/16] + [(b^2)/(4.pi)] (v) Substituindo (i) em (v) teremos: S = {[(d-b)^2]/16} + [(b^2)/(4.pi)] S = [pi.(d^2) - 2.pi.d.b + pi.(b^2) + 4.(d^2)]/16.pi S = [(4 + pi)/16.pi].(b^2) - (d/8).b + (d^2)/16 Agora temos S sendo uma função polinomial do segundo grau na variável b. Como o coeficiente de b^2 é positivo podemos enteder que o valor de b que faz com que S tenha o valor mínimo é a abcissa do vértice da parábola que serve como gráfico a S, sendo assim: b = (d/8)/[(4 + pi)/(8.pi)] b = d.pi/(4 + pi) (vi) Substituindo (vi) em (i) a = d - d.pi/(4 + pi) a = 4.d/(4 + pi) Assim, para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, devemos dividir o arame de comprimento d na razão de b/a, i.e, [d.pi/(4 + pi)]/[4.d/(4 + pi)] = pi/4 UFPB-89) O valor da expressão tg 41º.tg 42º......tg 49 é: a) -1. b) 1. c) 0. d) rq3. e) rq2/2. Sabemos que se a e b são ângulos complementares então tgb = 1/tga Na seqüência (tg 41º,tg 42º, ... ,tg 49º) temos 9 termos sendo o termo médio tg45º e com o último termo igual ao inverso do primeiro, o penúltimo igual ao inverso do segundo e assim sucessivamente. Nessa condições no produto tg 41º.tg 42º. ... .tg 49º o produto dos termos com valores inversos seria 1 e a tg45º = 1, sendo assim o valor da expressão é igual a 1.
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