Faleceu pra voce, matematico ingrato...(rs) Continua bem vivo no meu coracao e na minha estante na forma do "Irrational Numbers", mencionado abaixo, do "Mathematics of Choice (How to Count without Counting)" e do "Introduction to the Theory of Numbers". O segundo eh uma introducao a combinatoria enumerativa (mas que nao deve nada a este aqui: http://www.sbm.org.br/livros/cpm/lcpm02.html e, de fato, eh um pouco mais elementar e tem bem menos problemas - resolvidos e propostos). No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co- autor) tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos:
1. Prove que se a, b e (a^2+b^2)/(1+ab) sao inteiros positivos entao (a^2+b^2)/(1+ab) eh quadrado perfeito. 2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] <= x < [x]+1. Prove que, para todo n em N: [x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n <= [nx] os quais cairam na IMO. (*) Elementar e Facil sao duas coisas bem distintas... []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 12 Feb 2007 11:09:42 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais > O Prof. Ivan Niven, infelizmente, já faleceu. > Benedito > > ----- Original Message ----- > From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > Sent: Sunday, February 11, 2007 10:33 PM > Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais > > > > Oi, jovem Claudio, > > > > Textos muito bem escritos, hein (já dei uma boa paquerada). Ótima dica e > > de minha parte, obrigadíssimo. Atualizou dois "coroas": eu e o Ivan > > Niven...:-) > > > > Grande abraço, > > Nehab > > > > PS: Só ficou uma dúvida: você foi da turma do Rogério Ponce ou é mais > > "jovem"...? > > > > > > At 22:34 11/2/2007, you wrote: > >>Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e > >>transcendentes: > >>http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html > >> > >>O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado > >>pelo Nicolau. > >>Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de > >>Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n > >>= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1]. > >>Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe isso > >>eh o justamente incentivo que faltava... > >> > >>[]s, > >>Claudio. > >> > >>---------- Cabeçalho original ----------- > >> > >>De: [EMAIL PROTECTED] > >>Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >>Cópia: > >>Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200 > >>Assunto: [obm-l] Off topic > >> > >> > Oi Nicolau, > >> > > >> > Eu não ia perder esta oportunidade... > >> > > >> > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno > >> > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam > >> > sugerir um livro mais recente. Portanto, uma simples > >> > "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo > >> > você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-) > >> > > >> > Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior > >> > e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto... Eu > >> > acho 12 anos, 65 anos e uns 25 anos, um bom chute... Ou seja, devo > >> > estar bem para lá da média + 3 desvios padrão... > >> > > >> > Abraços > >> > Nehab > >> > > >> > PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar > >> > mico, é melhor não se manifestar, hein... > >> > > >> > At 08:02 10/2/2007, you wrote: > >> > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote: > >> > > > > >> > > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é > >> > > > racional? > >> > > > >> > >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não. > >> > >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é > >> > >algébrico. > >> > >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio > >> > >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz. > >> > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann: > >> > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html > >> > > > >> > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos > >> > >com os a_i distintos e os A_i não nulos então > >> > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0. > >> > > > >> > >Suponha x algébrico, x não nulo. > >> > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2. > >> > >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x). > >> > >Pelo teorema, cos(x) é não nulo. > >> > >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x), > >> > >contradizendo o teorema. > >> > > > >> > >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo > >> > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional > >> > >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros > >> > >parecidos > >> > >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA. > >> > > > >> > >[]s, N. > >> > >========================================================================= > >> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > >========================================================================= > >> > > >> > ========================================================================= > >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > ========================================================================= > >> > > >> > > >> > >> > >>========================================================================= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>========================================================================= > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > -- > > No virus found in this incoming message. > > Checked by AVG Free Edition. > > Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.36/681 - Release Date: 11/2/2007 > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
